παραλληλόγραμμο

vanalex · #1

Καλησπέρα,

σε κύκλο με κέντρο

οι χορδές $AB,\Gamma \Delta$ τέμνονται κάθετα στο σημείο

και τα

είναι τα μέσα των $\Gamma B,A\Delta$ αντίστοιχα. Είναι αρκετά αυτά τα στοιχεία ώστε με γνώσεις Ευκλείδιας Γεωμετρίας Α' Λυκείου να δείξουμε ότι το KEMZ

είναι παραλληλόγραμμο; Δεν έχω λύση...τα στοιχεία είναι από άσχετη άσκηση και μου ήρθε αυτή η απορία...η σκέψη μου είναι ότι αν δείξω απλώς ότι οι χορδές $A\Delta$ και $B\Gamma$ είναι ίσες, τότε εύκολα προκύπτει ότι όλες οι πλευρές του τετραπλέυρου KEMZ

είναι μεταξύ τους ίσες. Ευχαριστώ και καλό βράδυ σε όλους!

KARKAR · #2

Κλασσική άσκηση : Για τα τρίγωνα AMD

και

, ισχύει : Η διάμεσος προς την υποτείνουσα του ενός ,

είναι κάθετη προς την υποτείνουσα του άλλου . Λύνεις πρώτα αυτή , και το αποτέλεσμα έπεται ...

vanalex · #3

KARKAR έγραψε:Κλασσική άσκηση : Για τα τρίγωνα και , ισχύει : Η διάμεσος προς την υποτείνουσα του ενός ,

είναι κάθετη προς την υποτείνουσα του άλλου . Λύνεις πρώτα αυτή , και το αποτέλεσμα έπεται ...

Καλημέρα, όπως μου υπέδειξε και ο φίλος KARKAR, αν δείξουμε στο συγκεκριμένο σχήμα ότι κάθε διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ενός τριγώνου είναι και κάθετη στην υποτείνουσα του άλλου τριγώνου τότε έπεται εύκολα το ζητούμενο (το $KE\Delta Z$ παραλληλόγραμμο):

Εργαζόμαστε αρχικά στο τρίγωνο $A\Delta H$ . Αρκεί να δείξουμε ότι $\hat{\varepsilon }+\Delta \hat{A}H=90^{o}$ . Έχουμε:

1. $\displaystyle{\hat{\varepsilon }=\hat{\zeta }}$ (ως κατακορυφήν γωνίες)

2. $\Delta \hat{A}E=B\hat{\Gamma }\Delta$ (αφού είναι εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο)

3. $B\hat{\Gamma }\Delta =\Gamma\hat{\Delta }E$ (από το ισοσκελές τρίγωνο $\Gamma E\Delta$ , αφού $\displaystyle{E\Delta =\frac{B\Gamma }{2}=\Gamma E}$

Έτσι το ζητούμενο άθροισμα είναι: $\displaystyle{\hat{\varepsilon }+\Delta \hat{A}H=\hat{\zeta }+B\hat{\Gamma \Delta }=\hat{\zeta }+\Gamma \hat{\Delta }E=\Gamma \hat{\Delta }B=90^{o}\Rightarrow \boxed{EH\perp AE}}$ . Ομοίως, $Z\Theta \perp B\Gamma$ .

Ισχύει, όμως, ότι $KZ\perp AE$ , αφού είναι απόστημα της χορδής

, οπότε προκύπτει ότι $KZ\parallel EH$ . Ομοίως,

απόστημα της χορδής $B\Gamma$ , άρα $KE\parallel Z\Theta$ . Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι το $KE\Delta Z$ είναι παραλληλόγραμμο. Αν έχετε κάποια διαφορετική γρηγορότερη λύση, εννοείται ότι θα ήθελα να τη δω...

παραλληλόγραμμο

παραλληλόγραμμο

Re: παραλληλόγραμμο

Re: παραλληλόγραμμο

Μέλη σε σύνδεση