Πλευρές τριγώνου

dimitris.ligonis · #1

Αν $\alpha ,\beta ,\gamma$ πλευρές τριγώνου να αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για τις τριάδες $\sqrt{\alpha}, \sqrt{\beta}, \sqrt{\gamma}$ και $(\alpha+\beta)^{-1} , (\beta+\gamma)^{-1} , (\gamma+\alpha)^{-1}$

#2

Για το πρώτο:

Είναι $a<\beta +\gamma \Rightarrow \sqrt{a}<\sqrt{\beta +\gamma }<\sqrt{\beta }+\sqrt{\gamma }.$
Πράγματι, ισχύει ότι $\sqrt{\beta +\gamma }<\sqrt{\beta }+\sqrt{\gamma }$ , διότι ισοδύναμα παίρνουμε
$(\sqrt{\beta +\gamma })^{2}<(\sqrt{\beta }+\sqrt{\gamma })^{2}\Leftrightarrow \beta +\gamma <\beta +\gamma +2\sqrt{\beta \gamma }$ , πράγμα που ισχύει.
Άρα $\sqrt{\alpha }<\sqrt{\beta }+\sqrt{\gamma }$ (1)
Επίσης με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι
$\sqrt{\beta }<\sqrt{a }+\sqrt{\gamma } \sqrt{\gamma }<\sqrt{a}+\sqrt{\beta }$

από τις οποίες έχουμε ότι
$\sqrt{\beta }-\sqrt{\gamma }<\sqrt{a} \sqrt{\gamma }-\sqrt{\beta }<\sqrt{a}$

και άρα $\left|\sqrt{\beta }-\sqrt{\gamma } \right|<\sqrt{a}<\sqrt{\beta }+\sqrt{\gamma }$ από όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Για την δεύτερη, αρκεί να δείξουμε ότι:

$\frac{1}{\beta +\gamma }<\frac{1}{a+\beta }+\frac{1}{a+\gamma },$ (και όμοια και οι άλλες αντίστοιχες ανισότητες)

Μετά τις πράξεις , ισοδύναμα παίρνουμε:

$a^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2}+a\beta +a\gamma +\beta \gamma ,$ που αληθεύει, αφού
από $a<\beta +\gamma \Rightarrow a^{2}<a\beta +a\gamma <a\beta +a\gamma +\beta \gamma +\beta ^{2}+\gamma ^{2}$

Πλευρές τριγώνου

Πλευρές τριγώνου

Re: Πλευρές τριγ(\sqrt{\beta +\gamma })^{2}<(\sqrt{\beta }+\

Μέλη σε σύνδεση