Υπαρξιακό

bvasil · #1

Καλημέρα

,
παρακολουθώ το forum εδώ και καιρό, αλλά πρώτη φορά γράφω.
Μετά από μια συζήτηση με ένα συνάδελφο, προέκυψε η απορία:

Δίνεται τρίγωνο $\stackrel{\triangle}{\rm{AB\Gamma}}$ . Υπάρχει (και πως μπορεί να κατασκευαστεί;) άλλο τρίγωνο
με δύο πλευρές και δύο γωνίες ίσες με αντίστοιχες του $\stackrel{\triangle}{\rm{AB\Gamma}}$ χωρίς τα
δύο τρίγωνα να είναι ίσα;

Το ψάχνω εδω και λίγες μέρες και δεν έχω καταφέρει να το απορρίψω
(αν και η δοκιμές μου με οδηγούν εκεί). Κάνω λάθος?

Ευχαριστώ.

#2

Αν κατανόησα σωστά το πρόβλημα, τότε η απάντηση είναι απλή:

Εύκολα, με εις άτοπον απαγωγή, αποδεικνύεται ότι δεν είναι δυνατόν δύο τρίγωνα, με δύο πλευρές και δύο γωνίες ίσες, να μην είναι ίσα.
Τουτέστιν: Έστω ότι υπάρχουν δύο τέτοια άνισα τρίγωνα. Όμως, αφού έχουν δύο γωνίες ίσες, θα έχουν και την τρίτη γωνία ίση. Από το κριτήριο ισότητας Π-Γ-Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Άτοπο.

Φιλικά

bvasil · #3

Ευχαριστώ για την απάντηση.
Αυτή ήταν και η δική μου πρώτη σκέψη.

Όμως τι γίνεται σε μια τέτοια περίπτωση (αν είναι εφικτή)?
Έστω $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ και $\hat{A},\ \hat{B},\ \hat{\Gamma}$ οι πλευρές και οι γωνίες του πρώτου τριγώνου
και $\alpha{'},\ \beta{'},\ \gamma{'}$ και $\hat{A{'}},\ \hat{B{'}},\ \hat{\Gamma{'}}$ οι πλευρές και οι γωνίες του 2ου τριγώνου,
με
$\beta=\beta{'},\ \gamma=\gamma{'}$ και $A=B{'},\ B=\Gamma{'},\ \Gamma=A{'}$ .
(σα να κράτησα τις 2 πλευρές ίσες και να μετατόπισα κατά μία θέση προς την ίδια φορά τις γωνίες)

Με τιμή.

#4

καλησπέρα.

Η "συγχιση'' προέκυψε από το ότι δεν είναι ξεκάθαρο, ποιές γωνίες θεωρούνται ίσες. Π.χ. για το κριτήριο ισότητας Π-Γ-Π -που ανέφερα παραπάνω- πρέπει οι "περιεχόμενες στις ίσες πλευρές γωνίες'' να είναι ίσες.

Σε διαφορετική περίπτωση είναι δυνατόν τα τρίγωνα να μην είναι ίσα.
Πώς: Έστωσαν $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ και $\alpha^{\prime}$ , $\beta^{\prime}$ , $\gamma^{\prime}$ οι πλευρές των τριγώνων $\stackrel{\triangle}{\rm{AB\Gamma}}$ και $\stackrel{\triangle}{\rm{A}^{\prime}\rm{B}^{\prime}\Gamma^{\prime}}$ , αντίστοιχα, με $\alpha=\alpha^{\prime}$ , $\beta=\beta^{\prime}\quad(1)$ .
Αφού τα τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, θα είναι όμοια και, επομένως, θα έχουν πλευρές ανάλογες.
Άλλά τότε μία από τις (πιθανές) αναλογίες είναι $\displaystyle\frac{\alpha}{\beta^{\prime}}=\frac{\beta}{\alpha^{\prime}}=\frac{\gamma}{\gamma^{\prime}}=\lambda\neq1\quad\stackrel{(1)}{\Rightarrow}\quad\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\gamma}{\gamma^{\prime}}=\lambda\neq1\quad\Rightarrow\quad\gamma^{\prime}=\lambda\gamma\neq\gamma$ .

bvasil · #5

Καλησπέρα,

Εδώ είναι και το βασικό θέμα μου. Θεωρητικά, μπορεί κανεις να κατασκευάσει όμοια τρίγωνα με τη μέθοδο που περιγράφεις.
Όμως αν η $\quad(1)$ είναι αληθής στη γενική περίπτωση όπου $\alpha\ne\beta\ne\gamma\ne\alpha$ τότε η πιθανή αναλογία που ορθά παραθέτεις δίνει και
$\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\beta}{\alpha}$ το οποίο είναι άτοπο αφού το ένα κλάσμα θα είναι μικρότερο της μονάδας και το άλλο μεγαλύτερο.

Μήπως όμως έτσι απορρίπτονται όλες οι (πιθανές) αναλογίες?

Για παράδειγμα, με τη βοήθεια του νόμου των ημιτόνων και της $\quad(1)$ νομίζω πως απορρίπτεται και η περίπτωση
$\displaystyle\frac{\alpha}{\beta^{\prime}}=\frac{\beta}{\gamma^{\prime}}=\frac{\gamma}{\alpha^{\prime}}$

Φυσικά ένα αντιπαράδειγμα θα έλυνε το πρόβλημα, αλλά δε βρίσκω κάποιο.

Φιλικά

#6

Βοηθάει αυτό;

bvasil · #7

exdx έγραψε:Βοηθάει αυτό;

Ευχαριστώ πολύ. Βάζει τα πράγματα στη θέση τους.

bvasil · #8

Αν σήμερα το πρωί με ρωτούσε κανείς, θα έλεγα πως δε
γίνεται να φτιάξω άνισα τρίγωνα με πέντε στοιχεία ίσα.
Όμως να....

: 1.png (206.48 KiB) Προβλήθηκε 2180 φορές

ευχαριστώ για τη βοήθεια.

k-ser · #9

Υπάρχουν όμοια τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες;

Είχα γράψει μία απάντηση. Τη διαγράφω αφού αυτή υπάρχει ήδη στην παραπομπή που δίνει παρακάτω ο Χρήστος.

#10

Μία όμορφη κουβέντα για την ισότητα τριγώνων είχε γίνει κάποτε και εδώ

Υ.Γ: Κώστα καλημέρα.Αν είναι να σβήνεις τις όμορφες απαντήσεις σου για κάθε παραπομπή που κάνω, ε δεν το ξανακάνω!Δεν ξαναβάζω παραπομπή για κανένα λόγο.Εγώ την έδωσα πρώτα απ'όλα για επέκταση της κουβέντας.Σε παρακαλώ, αν γίνεται να την ξαναδώσεις και σβήνω εγώ την παραπομπή.Δεν υπάρχει περίπτωση μετα από αυτό να ξαναθυμήσω κάτι.Πολύ καλημέρα σας.

k-ser · #11

Χρήστο, διέγραψα την απάντηση γιατί υπήρχε ήδη στο mathematica - δεν το γνώριζα.
Έκρινα ότι δεν είχε να προσθέσει κάτι καινούργιο στη διερεύνηση του προβλήματος.

Οι παραπομπές είναι πάρα πολύ χρήσιμες.
Πράγματα τα οποία έχουν γραφτεί δεν χρειάζεται να ξαναγραφτούν,κυρίως για λόγους οικονομίας - η φύση βέβαια, γενικά, είναι σπάταλη μα αυτή μπορεί να είναι, εμείς, καλόν είναι να προσέχουμε!

Τέλος πάντων, θεωρώ ότι δεν υπήρξε κάποιο πρόβλημα με τη διαγραφή, μπορεί όμως και να κάνω λάθος - μαθηματικός είμαι, όχι μαθηματικά!
Αν επιμένεις, μπορώ να επανορθώσω.

#12

Κώστα εγώ δεν το έκανα για να τη σβήσεις και θα ήθελα να την ξαναδημοσιεύσεις, ειλικρινά.

k-ser · #13

k-ser έγραψε:Υπάρχουν όμοια τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες;

Απάντηση

Έστω τα όμοια τρίγωνα ΑΒΓ, με πλευρές $\displaystyle a, \ \ 1, \ \ k$ και Β΄Γ΄Α΄, με πλευρές $\displaystyle 1, \ \ k, \ \ a{'}$ .

Είναι $\displaystyle \frac{a}{1}=\frac{1}{k}=\frac{k}{a'} \Leftrightarrow a=\frac{1}{k}, \ \ a{'}=k^2$

Πρέπει
$\displaystyle 1+k>\frac{1}{k}$ και $\displaystyle 1+k>k^2$

Ισοδύναμα
$\displaystyle k^2+k-1>0$ και $\displaystyle k^2-k-1<0$

Απ' όπου προκύπτει ότι $\displaystyle k \in \left(\frac{1}{\phi},\phi\right)$ , όπου $\displaystyle \phi$ ο γνωστός "χρυσός αριθμός".

Συνεπώς μπορούμε να κάνουμε άπειρα όμοια τρίγωνα με πλευρές: $\displaystyle \frac{1}{k}, \ \ 1, \ \ k$ και $\displaystyle 1, \ \ k, \ \ k^2$

οπότε και με πλευρές $\displaystyle \boxed{\bf{ \frac{1}{k}\cdot\mu, \ \ \mu, \ \ k\cdot\mu}}$ και $\displaystyle \boxed{\bf{ \mu, \ \ k\cdot \mu, \ \ k^2\cdot \mu}}$

αρκεί να πάρουμε το $\displaystyle \bf{ k \in \left(\frac{1}{\phi},\phi\right)}$ και το $\displaystyle \mu$ οποιονδήποτε θετικό αριθμό.

Παράδειγμα: για $\displaystyle k=1,5$ και $\displaystyle \mu=12$ έχουμε τα τρίγωνα με πλευρές 8,12, 18 και 12, 18, 27.

bvasil · #14

k-ser έγραψε:Υπάρχουν όμοια τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες;

Όμορφη λύση.

Υπαρξιακό

Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Re: Υπαρξιακό

Μέλη σε σύνδεση