Θέμα με εξωτερικές διχοτόμους

tdsotm111 · #1

Έστω τρίγωνο σκαληνό $A \hat{B} C$ και οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{C}$ τέμνονται στο

.
Προεκτείνουμε την

(προς το μέρος του

) κατά

. Nα δειχθεί ότι AO=OD

.

#2

tdsotm111 έγραψε:Έστω τρίγωνο σκαληνό $A \hat{B} C$ και οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{C}$ τέμνονται στο Ο.
Προεκτείνουμε την ΑΒ (προς το μέρος του Β) κατά BD=BC+CA. Nα δειχθεί ότι ΑΟ=ΟD.

: 10.png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

Αν $\displaystyle{ M }$ είναι το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου $\displaystyle{ \left( O \right) }$ τότε είναι γνωστό ότι: $\displaystyle{ AM = \tau = \frac{{a + b + c}} {2} = \frac{{AD}} {2} = MD }$

και επειδή $\displaystyle{ OM \bot AD }$ στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle OAD }$ θα είναι $\displaystyle{ OM }$ ύψος και διάμεσος άρα θα είναι ισοσκελές οπότε $\displaystyle{ \boxed{OA = OD} }$

Στάθης

tdsotm111 · #3

Πολύ σωστά

kostas136 · #4

Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση:

Έστω

σημείο της

ώστε $\displaystyle BE=BC$ , άρα θα ισχύει $\displaystyle ED=AC$

Τότε το $\triangle EBC$ θα είναι ισοσκελές και αφού η $\displaystyle BO$ είναι διχοτόμος της γωνίας κορυφής θα είναι και μεσοκάθετος της $\displaystyle EC$

Άρα θα ισχύει $\displaystyle EO=OC$

Συγκρίνοντας τα $\displaystyle \triangle EOD, \triangle AOC$ τα οποία έχουν:

$\displaystyle ED=AC, EO=OC, D\hat EO=180^0-O\hat EB=180^0-O\hat CB=A\hat CO$

προκύπτει ότι $\displaystyle AO=OD$

Θέμα με εξωτερικές διχοτόμους

Θέμα με εξωτερικές διχοτόμους

Re: Θέμα με εξωτερικές διχοτόμους

Re: Θέμα με εξωτερικές διχοτόμους

Re: Θέμα με εξωτερικές διχοτόμους

Μέλη σε σύνδεση