Κατασκευές

Atemlos · #1

Έστω τα ευθύγραμμα τμήματα a,b,c,d

ακεραίου μήκους (σχήμα). Να κατασκευάσετε τα ακόλουθα ευθύγραμμα τμήματα :

α) $\displaystyle{l = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} }$

β) $\displaystyle{m = \sqrt {{b^2} + ac} }$

γ) $\displaystyle{k = \sqrt {{b^2} - ac} }$

gauss1988 · #2

(1) . Αν θέσουμε $\displaystyle{a^{2}+b^{2}=x^{2}}$ και $\displaystyle{c^{2}+d^{2}=y^{2}}$ τότε τα $\displaystyle{x , y}$ είναι κατασκευάσιμα (για παράδειγμα το $\displaystyle{x}$ είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές τις $\displaystyle{a ,b}$ ). Τώρα έχουμε $\displaystyle{l^{2}=x^{2}+y^{2}}$ και άρα το $\displaystyle{l}$ είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές $\displaystyle{x , y}$ (και η κατασκευή ενός τέτοιου τριγώνου είναι στοιχειώδης. Κατασκευάζουμε ορθή γωνία με κορυφή $\displaystyle{O}$ και παίρνουμε στις πλευρές αυτής τα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ ώστε να είναι $\displaystyle{OA=x , OB=y}$ και τότε $\displaystyle{AB=l}$ )
(2) . Αν θέσουμε $\displaystyle{x^{2}=ac}$ τότε το $\displaystyle{x}$ είναι κατασκευάσιμο ως εξής: Παίρνουμε πάνω σε ευθεία τα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ έτσι ώστε $\displaystyle{AB=a}$ και ύστερα το σημείο $\displaystyle{T}$ έτσι ώστε $\displaystyle{BT=c}$ . Με διάμετρο $\displaystyle{AT}$ γράφουμε ημικύκλιο και από το σημείο $\displaystyle{B}$ φέρνουμε την κάθετη στην $\displaystyle{AT}$ η οποία τέμνει το ημικύκλιο στο $\displaystyle{P}$ . Το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{BP}$ είναι το $\displaystyle{x}$ . Μετά έχουμε: $\displaystyle{m^{2}=b^{2}+x^{2}}$ και άρα το $\displaystyle{m}$ είναι κατασκευάσιμο όπως και προηγουμένως στο ερώτημα (1).
(3) . Θέτουμξε όπως και πριν $\displaystyle{x^{2}=ac}$ και το $\displaystyle{x}$ είναι κατασκευάσιμο. Τότε $\displaystyle{k^{2}=b^{2}-x^{2}}$ και άρα το $\displaystyle{k}$ είναι η κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $\displaystyle{b}$ και άλλη κάθετη πλευρά το $\displaystyle{x}$ . Και η κατασκευή αυτού του τριγώνου γίνεται ως εξής: Παίρνουμε μια ορθή γωνία με κορυφή $\displaystyle{XOY}$ και πάνω στην $\displaystyle{OX}$ παίρνουμε ένα σημείο $\displaystyle{A}$ με $\displaystyle{OA=x}$ . Με κέντρο $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{b}$ γράφουμε κύκλο που τέμνει την πλευρά $\displaystyle{OY}$ στο $\displaystyle{B}$ . Τότε είναι $\displaystyle{OB=k}$ .

Atemlos · #3

Σωστά. Βάζω σχήμα για το 1ο ερώτημα και θα επανέλθω για τα άλλα αργότερα.Το τελευταίο είναι σε συνάρτηση κατά πόσο θα μάθω το Γεωαλγεβρα το ΠΣΚ.

Κατασκευές

Κατασκευές

Re: Κατασκευές

Re: Κατασκευές

Μέλη σε σύνδεση