Τετράγωνα

[Atemlos]

Δίνεται τετράγωνο και σημείο της διαγωνίου τέτοιο ώστε .
Θεωρούμε επίσης το τετράγωνο . Να δείξετε ότι :

α) το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο

β) τα σημεία είναι συνευθειακά.

[matha]

Ισχύει προφανώς

, άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Επομένως, ισχύει και

Άρα

οπότε τα σημεία είναι συνευθειακά.

[Ανδρέας Πούλος]

Θεωρώ ότι ο περιορισμός για το δεν είναι απαραίτητος για το θέμα μας.
Αυτό επειδή, αν το σημείο κινείται στη διαγώνιο , τότε το σημείο κινείται στην ευθεία του .

Ενδιαφέρον έχει αν το ερώτημα ανακαλύφθηκε "παίζοντας" με το Geogebra, ή με άλλον τρόπο.
Διότι το θέμα της χρήσης του Η/Υ στην ανακάλυψη ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων (και όχι μόνον)
είναι πάντα παιδαγωγικά επίκαιρο και άκρως ελκυστικό.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Ανδρέας Πούλος]

Έδωσα το θέμα αυτό στην Β΄Λυκείου για να το αντιμετωπίσουν με γνώσεις Αναλυτικής Γεωμετρίας.
Φάνηκε ότι το είδαν με άλλο μάτι, (όχι αυτό του Σταλόνε) .
Έδειξα και το σχήμα στον διαδραστικό πίνακα, κάτι να κινείται για να προκαλέσει λίγο το ενδιαφέρον στα "αστέρια μου".
Δύσκολα βγαίνει το μεροκάματο χωρίς να ανανεώσουμε το ρεπερτόριο και τις τεχνικές διδασκαλίας.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[KARKAR]

Ουσιαστικά ζητείται να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής είναι η ευθεία .

Και προκύπτει αβίαστα το ερώτημα : Ποιός είναι ο γ. τόπος της τέταρτης κορυφής ?

[Ανδρέας Πούλος]

Πολύ ενδιαφέρουσα η παρατήρηση του KARKAR.
Τελικά, το θέμα αυτό είχε περισσότερο "ζουμί" από όσο φαίνεται με μιά πρώτη ματιά.
Σίγουρα, θα βρεθεί κάποιος να καθαρογράψει μία κομψή απόδειξη για τον γεωμετρικό τόπο στον οποίο κινείται η κορυφή .
Ας μην "προδώσουμε το μυστικό" χωρίς την απόδειξή του.
Φιλικά,

Ανδρέας Πούλος

[parmenides51]

Ουσιαστικά ζητείται να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής είναι η ευθεία .

Και προκύπτει αβίαστα το ερώτημα : Ποιός είναι ο γ. τόπος της τέταρτης κορυφής ?

επαναφορά

(μιας και χάθηκε μες στο πλήθος το ερώτημα)

[KARKAR]

LOCUS.png (17.94 KiB) Προβλήθηκε 832 φορές

Φέρω την , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Το είναι εγγράψιμο

Από την προφανή ισότητα των τριγώνων , τεκμαίρεται ότι η γωνία είναι σταθερά ,

συνεπώς το κινείται επί του τμήματος . Ο αναγνώστης καλείται να συμπληρώσει τα άλλα βήματα ...