Iσοσκελές

erxmer · #1

Έστω τρίγωνο ABC

και

εσωτερικό σημείο του τριγώνου τέτοιο ώστε : $\displaystyle{\widehat{DAB}=10^{o}, \widehat{ABD}=20^{o}, \widehat{DCA}=30^{o}, \widehat{DAC}=40^{o}}$

Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές.

#2

erxmer έγραψε:Έστω τρίγωνο και εσωτερικό σημείο του τριγώνου τέτοιο ώστε : $\displaystyle{\widehat{DAB}=10^{o}, \widehat{ABD}=20^{o}, \widehat{DCA}=30^{o}, \widehat{DAC}=40^{o}}$

Αποδείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

: exmer_21.png (45.43 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές

Αν γράψουμε το κύκλο του ABC

και πούμε

το κέντρο του τότε $\widehat {BKC} = 2\widehat {BAC} = {100^0}$ . Όμως και η γωνία $\widehat {BDC} = {360^0} - \widehat {ADB} - \widehat {ADC} = {360^0} - {150^0} - {110^0} = {100^0}$ και συνεπώς $\boxed{\widehat {BKC} = \widehat {BDC} = {{100}^0}}$ . Η τελευταία μας εξασφαλίζει το τετράπλευρο KDBC

ότι είναι εγγράψιμο . Επίσης αν η

κόψει τον κύκλο (K,KA)

στο σημείο

η γωνία $\widehat {AKE} = 2\widehat {ACE} = {60^0}$ , οπότε το τρίγωνο AEK

είναι ισόπλευρο .
Στο το ισοσκελές KBC

οι παρά την βάση του γωνίες θα είναι από ${40^0}$ κάθε μια
έτσι λόγω του εγγραψίμου KDBC

και η γωνία $\widehat {KDC} = {40^0}$ . Από το τρίγωνο όμως ADC

έχουμε ότι $\widehat {ADC} = {110^0}$ και άρα η

διχοτομεί την γωνία $\widehat {KDE}$ .
Από το έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων έχουμε AKD = AED

(δηλαδή το τετράπλευρο AEDK

είναι χαρταετός). Μετά απ’ αυτά έχουμε $\boxed{\widehat {AKD} = \widehat {AED} = \frac{{{{360}^0} - {{70}^0} - {{70}^0} - {{60}^0}}}{2} = {{80}^0}}$ συνεπώς και $\widehat {ABC} = {80^0}$ οπότε το τρίγωνο ABC

ισοσκελές με κορυφή το

.

Φιλικά Νίκος
Υ.Γ. έχω και άλλη λύση αλλά το ίδιο μπελαλίδικη . θα ψάξω για κάτι πιο κομψό .

Ιστοσελίδα · #3

Καλημέρα. Την είχαμε δει (πρόσφατα

) εδώ.

#4

Καλημέρα

με τριγωνομετρική μορφή ceva έχουμε

$D\hat CB=x \rightarrow D\hat BC=80^o-x$

$\dfrac{\sin(80-x)}{\sin 20}\dfrac{\sin 10}{\sin 40}\dfrac{\sin 30}{\sin x}=1\iff$

$\dfrac{\sin (80-x)}{\sin x}=\dfrac{\sin 20\cdot \sin 40}{\sin 10\cdot \sin 30}\iff \dfrac{\sin (80-x)}{\sin x}=\dfrac{4\cdot \sin 20\cdot \sin 40\cdot \cos 10}{\sin 60}\dfrac{\cos 30}{\sin 20}$

αλλά $4\cdot \sin 20\cdot \sin 40\cdot \cos 10=2(\cos 20-\cos 60)\cos 10=2\cos 20 \cos 10-\cos 10=$ $\cos 30=\sin 60$

άρα $\dfrac{\sin (80-x)}{\sin x}=\dfrac{\cos 30}{\sin 20}=\dfrac{\sin 60}{\sin 20}$

x=20^o

μοναδική

*μόλις είδα τη δημοσίευση του Μιχάλη

Iσοσκελές

Iσοσκελές

Re: Iσοσκελές

Re: Iσοσκελές

Re: Iσοσκελές

Μέλη σε σύνδεση