Ίσες χορδές

#1

Ας ξεκινήσω τη νέα μας ιστοσελίδα με μια ..φιλική άσκηση γεωμετρίας.Μακάρι σε αυτό το χώρο να συναντηθούν μαθητές και δάσκαλοι για να απολαύσουν το ωραιότερο από διδακτική άποψη μάθημα!

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο Ω και τα ύψη του ΒΔ ,ΓΕ . Η ευθείας ΔΕ τέμνει τον κύκλο Ω στα Ζ και Η. Να αποδειχθεί ότι ΑΖ=ΑΗ.

rastaffari · #2

Έστω Ο το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκλου
Η ΑΟ είναι κάθετη στην ΔΕ (θεώρημα Nagel)και εστω Κ το σημείο τομής της ΑΟ με ΔΕ
οπότε στην χορδή ΖΗ το ΟΚ είναι αποστημα άρα διχοτομεί την χορδή και τα αντίστοιχα τόξα
Το θεώρημα του Nagel λέει ότι κάθε ακτίνα του περιγγεγραμμένου κύκλου ενός τριγωνου που συνδέει
το κέντρο με μια κορυφή τεμνει καθετα την αντιστοιχη πλευρά του ορθικού τριγώνου

p_gianno · #3

: equal_chords.png (4.99 KiB) Προβλήθηκε 2826 φορές

Αν Ο το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και R η ακτίνα του τότε
Γωνίες ΗΟΑ=2ΗΓΑ (επίκεντρη – εγγεγραμμένη)
Γωνίες ΑΟΖ=2ΑΒΖ (επίκεντρη – εγγεγραμμένη)
ΗΓΑ=ΕΓΑ=ΔΒΑ=ΖΒΑ ως συμπληρωματικές της γων ΒΑΓ
Από τα τρία προηγούμενα συνάγεται ότι ΗΟΑ= ΑΟΖ
Επειδή αυτές είναι επίκεντρες θα είναι ίσα και τα αντίστοιχα τόξα ,δηλαδή ΗΑ=ΑΖ
--------
Τώρα που την ξαναβλέπω δεν χρειαζονται επίκεντρες κλπ
Είναι ΗΓΑ=ΕΓΑ=ΔΒΑ=ΖΒΑ ως συμπληρωματικές της γων ΒΑΓ και επειδή ΗΓΑ,ΖΒΑ ειναι εγγεγραμμένες άρα και τα αντίστοιχα τόξα και χορδές θα είναι ίσα

#4

math_finder έγραψε:
equal_chords.png
Αν Ο το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και R η ακτίνα του τότε
Γωνίες ΗΟΑ=2ΗΓΑ (επίκεντρη – εγγεγραμμένη)
Γωνίες ΑΟΖ=2ΑΒΖ (επίκεντρη – εγγεγραμμένη)
ΗΓΑ=ΕΓΑ=ΔΒΑ=ΖΒΑ ως συμπληρωματικές της γων ΒΑΓ
Από τα τρία προηγούμενα συνάγεται ότι ΗΟΑ= ΑΟΖ
Επειδή αυτές είναι επίκεντρες θα είναι ίσα και τα αντίστοιχα τόξα ,δηλαδή ΗΑ=ΑΖ
--------
Τώρα που την ξαναβλέπω δεν χρειαζονται επίκεντρες κλπ
Είναι ΗΓΑ=ΕΓΑ=ΔΒΑ=ΖΒΑ ως συμπληρωματικές της γων ΒΑΓ και επειδή ΗΓΑ,ΖΒΑ ειναι εγγεγραμμένες άρα και τα αντίστοιχα τόξα και χορδές θα είναι ίσα

Αυτή που έλυσες είναι μια άλλη πιο απλή άσκηση.Η άσκηση της εκφώνησης ζητάει κάτι διαφορετικό . Μέσα στη χαρά και το ζήλο για να κάνεις την άσκηση (το παθαίνω και γω πολύ συχνά), έφτιαξες μια άλλη άσκηση , απλή αλλά ωραία και σίγουρα πιο σχολική !Έχουμε λοιπόν και μια νέα άσκηση, την οποία θα βάλω στο αρχείο μου. Αν σκεφτείς μάλιστα ότι δεν θέλει ούτε καν εγγράψιμα, μπορεί να μπει και στη Β΄γυμνασίου στις εγγεγραμμένες γωνίες.Και μια και αυτό τον καιρό διορθώνω το βιβλίο της Β΄γυμνασίου που ετοιμάζουμε, θα τη βάλω μέσα. Να μου θυμίσεις, όταν βγει τον Ιούνιο , να σου δώσω και ένα βιβλίο τιμητικά για να θυμάσαι την άσκηση που έφτιαξες.

p_gianno · #5

Είπα και γώ ! Αλλά μια και κρατώ αρχείο την έγραψα σε word και είπα να την δημοσιεύσω

οπότε "οφείλω" την σωστή άσκηση

"Φέρω την διάμετρο ΑΟ η οποία προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο Τ.
Είναι τότε ΑΕΔ= ΑΓΒ (1) [ επειδή ΕΒΓΔ εγγράψιμο (αφού ΒΕΓ=ΒΔΓ=90 )]
ΑΓΒ=ΑΤΒ (2) [βαίνουν στο τόξο ΒΗΑ]
Από ( 1,2) προκύπτει ΑΤΒ= ΑΕΔ=ΑΕΜ (3)
Είναι όμως ΑΒΤ=90 (βαίνει σε ημικύκλιο) άρα ΑΤΒ και ΒΑΤ συμπληρωματικές ή λογω της (3) ΑΕΜ και ΒΑΤ ή ΑΕΜ και ΕΑΜ συμπληρωματικές άρα ΕΜΑ=90. Είναι όμως ΗΖ χορδή και επομένως ΟΑ μεσοκάθετος της της ΗΖ συνεπώς το Α ισαπέχει από τα σημεία Η και Ζ"

A.Spyridakis · #6

Ας κεράσω κι εγώ μια λύση. Σορρυ για την ποιότητα του σχήματος.
Εικόνα

#7

Η εφαπτομένη του κύκλου $(\Omega)$ στο

απλουστεύει τα πράγματα και μας βοηθάει να δούμε ότι το πρόβλημα αληθεύει για κάθε κύκλο χορδής $B\Gamma$ που τέμνει τις πλευρές $A\Gamma,\ AB,$ στα σημεία $\Delta,\ E$ αντιστοίχως και όχι μόνο για τον κύκλο με διάμετρο $B\Gamma$ (από εγγράψιμο $B\Gamma\Delta E$ ).

: shape.png (43.1 KiB) Προβλήθηκε 1617 φορές

Κώστας Βήττας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ας ξεκινήσω τη νέα μας ιστοσελίδα με μια ..φιλική άσκηση γεωμετρίας.Μακάρι σε αυτό το χώρο να συναντηθούν μαθητές και δάσκαλοι για να απολαύσουν το ωραιότερο από διδακτική άποψη μάθημα!

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο Ω και τα ύψη του ΒΔ ,ΓΕ . Η ευθείας ΔΕ τέμνει τον κύκλο Ω στα Ζ και Η. Να αποδειχθεί ότι ΑΖ=ΑΗ.

Γεια σου Μπάμπη.Άλλη μια λύση για ποικιλία...

Λόγω των εγγράψιμων MNCB,EDCB

οι πράσινες γωνίες

είναι ίσες μεταξύ τους όπως και οι κόκκινες

οπότε $HZ//MN\Rightarrow \sphericalangle MH=\measuredangle NZ$ κι επειδή $\sphericalangle MA=\measuredangle NA$ $\Rightarrow \measuredangle AH=\measuredangle AZ$ άρα AH=AZ

Ιστοσελίδα · #9

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ας ξεκινήσω τη νέα μας ιστοσελίδα με μια ..φιλική άσκηση γεωμετρίας. Μακάρι σε αυτό το χώρο να συναντηθούν μαθητές και δάσκαλοι για να απολαύσουν το ωραιότερο από διδακτική άποψη μάθημα!

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο O και τα ύψη του ΒΔ ,ΓΕ . Η ευθείας ΔΕ τέμνει τον κύκλο O στα Ζ και Η. Να αποδειχθεί ότι ΑΖ=ΑΗ.

Καλημέρα.

: Ίσες-χορδές.png (25.22 KiB) Προβλήθηκε 1642 φορές

Απ’ το εγγράψιμο ${\rm B}{\rm E}\Delta \Gamma :\,{\rm H}\widehat {\rm E}{\rm B} = \Delta \widehat \Gamma {\rm B} = \varphi$ . Απ’ το εγγεγραμμένο ${\rm B}{\rm H}{\rm Z}\Gamma :\,{\rm K}\widehat {\rm H}{\rm B} = {\rm Z}\widehat \Gamma {\rm B}$ και η ${\rm K}\widehat {\rm H}{\rm B}$ είναι εξωτερική του $\triangleleft {\rm B}{\rm H}{\rm E}$ , συνεπώς ${\rm A}\widehat \Gamma {\rm Z} = {\rm A}\widehat {\rm B}{\rm H} = \omega \,\,\& \,\,{\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm H}$ .

Ίσες χορδές

Ίσες χορδές

Re: Ίσες χορδές

Re: Ίσες χορδές

Re: Ίσες χορδές

Re: Ίσες χορδές

Re: Ίσες χορδές

Re: Ίσες χορδές

Re: Ίσες χορδές

Re: Ίσες χορδές

Μέλη σε σύνδεση