Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

gavrilos · #1

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{\Delta}$ τυχαίο σημείο της $\displaystyle{A\Gamma}$ .Προεκτείνουμε την $\displaystyle{AB}$ κατά τμήμα $\displaystyle{BE=\Gamma \Delta}$ .Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{B\Gamma}$ διχοτομεί την $\displaystyle{E\Delta}$ .

: Γεωμετρια mathematica_73.PNG (7.32 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

Υ.Γ. Επειδή η άσκηση είναι κατά τη γνώμη μου πολύ διδακτική ας μη δοθεί κατευθείαν η πηγή.
Υ.Γ. Υπάρχει λύση εκτός φακέλου σε δύο γραμμές (αυτή μου ήρθε κι εμένα την πρώτη φορά που είδα την άσκηση).Προσπαθήστε να τη λύσετε με νόμιμα μέσα!

#2

Από το $\displaystyle{\Delta}$ φέρω παράλληλη στην $\displaystyle{B\Gamma ,}$ οπότε το $\displaystyle{B\Gamma \Delta Z}$ είναι τραπέζιο, και επειδή $\displaystyle{\hat{B}=\hat{\Gamma}}$ , είναι ισοσκελές. Άρα $\displaystyle{BZ=\Gamma \Delta .}$

Άρα $\displaystyle{EB=BZ}$ και επειδή $\displaystyle{B}$ το μέσον του $\displaystyle{EZ}$ και $\displaystyle{BK// Z\Delta ,}$ το $\displaystyle{K}$ είναι το μέσον του $\displaystyle{E\Delta .}$

KARKAR · #3

: Διχοτόμηση σε ισοσκελές.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

$EZ// \Gamma A$ ...Χωρίς άλλα λόγια

Ιστοσελίδα · #4

gavrilos έγραψε:Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{\Delta}$ τυχαίο σημείο της $\displaystyle{A\Gamma}$ .Προεκτείνουμε την $\displaystyle{AB}$ κατά τμήμα $\displaystyle{BE=\Gamma \Delta}$ .Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{B\Gamma}$ διχοτομεί την $\displaystyle{E\Delta}$ .

Το συνημμένο Γεωμετρια mathematica_73.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υ.Γ. Επειδή η άσκηση είναι κατά τη γνώμη μου πολύ διδακτική ας μη δοθεί κατευθείαν η πηγή.
Υ.Γ. Υπάρχει λύση εκτός φακέλου σε δύο γραμμές (αυτή μου ήρθε κι εμένα την πρώτη φορά που είδα την άσκηση).Προσπαθήστε να τη λύσετε με νόμιμα μέσα!

Χαιρετώ.

: Διχοτόμηση-χωρίς-στοιχεία.jpg (18.89 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

$\Delta {\rm Z}//{\rm A}{\rm B}\,({\rm Z} \in {\rm B}\Gamma )$ , $\triangleleft \Delta {\rm Z}\Gamma$ ισοσκελές, $\Delta {\rm Z}{\rm E}{\rm B}$ παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.

#5

Φαντάζομαι η πολύ σύντομη λύση που αναφέρει ο gavrilos είναι με χρήση του θεωρήματος του Μενελάου στο τρίγωνο $\displaystyle{AE\Delta}$ με διατέμνουσα την $\displaystyle{BK\Gamma}$ :

$\displaystyle{\frac{EK}{K\Delta}\frac{\Delta \Gamma}{\Gamma A}\frac{AB}{BE}=1\implies EK=K\Delta ,}$

αφού $\displaystyle{AB=A\Gamma,~BE=\Gamma \Delta .}$

#6

Γεια σε όλους. Μια ακόμη νόμιμη .

: Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

Αν

τα συμμετρικά των ${\rm E},\Delta$ ως προς τα ${\rm B},\Gamma$ αντίστοιχα , στο τραπέζιο ${\rm Z}\Delta {\rm H}{\rm E}$ η ${\rm B}\Gamma$ είναι διάμεσος και ως εκ τούτου θα περνά από τα μέσα των διαγώνιων του ${\rm E}\Delta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm Z}{\rm H}$ .

Νίκος

S.E.Louridas · #7

Από τη άλλη μεριά (για να μην έχουν παράπονο και οι φίλοι μας οι κύκλοι που ενίοτε τόσο πολύ μας εξυπηρετούν) έχουμε:

$\displaystyle{\angle {T_1} = \angle {T_2},\;\;{\Delta \Gamma }} = {{{ BE}}} \Rightarrow r = q,}$ συνεπώς προκύπτει $\displaystyle{r = q,\;\angle {\rm B} = \angle \Gamma \Rightarrow {\rm E}{\rm T} = {\rm T}\Delta .}$

gavrilos · #8

Προτάθηκε πριν από 10 μέρες εδώ.Μου το επεσήμανε και ο marvel που το είχε προτείνει.

Παρεπιπτόντως,είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου (σύνθετα,σελ.100).Η πρώτη λύση που είχα σκεφτεί όταν την είδα πριν από μήνες ήταν με Μενέλαο.Μετά σκέφτηκα την πρώτη του κύριου Θάνου.Όμως και πάλι η θέση της άσκησης στο βιβλίο είναι πριν από το συγκεκριμένο θεώρημα.Μου πήρε πολλή ώρα για να σκεφτώ τη λύση που έδωσε ο κύριος Μιχάλης.

Γιώργος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

gavrilos έγραψε:Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{\Delta}$ τυχαίο σημείο της $\displaystyle{A\Gamma}$ .Προεκτείνουμε την $\displaystyle{AB}$ κατά τμήμα $\displaystyle{BE=\Gamma \Delta}$ .Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{B\Gamma}$ διχοτομεί την $\displaystyle{E\Delta}$ .

Το συνημμένο Γεωμετρια mathematica_73.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υ.Γ. Επειδή η άσκηση είναι κατά τη γνώμη μου πολύ διδακτική ας μη δοθεί κατευθείαν η πηγή.
Υ.Γ. Υπάρχει λύση εκτός φακέλου σε δύο γραμμές (αυτή μου ήρθε κι εμένα την πρώτη φορά που είδα την άσκηση).Προσπαθήστε να τη λύσετε με νόμιμα μέσα!

Άλλη μια...

$\displaystyle{K}$ συμμετρικό του $\displaystyle{D}$ ως προς $\displaystyle{BC \Rightarrow DC = CK = //BE \Rightarrow EK//BC}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{MD = ME}}$ (αφού $\displaystyle{N}$ μέσο της $\displaystyle{DK}$ )

#10

Σε δυο γραμμές (στριμωχτά) , αλλά λιγάκι

εκτός φακέλου...

: 23-06-2014 Γεωμετρία β.jpg (9.84 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

Από Ν. Ημιτόνων στο BKE

$\displaystyle \frac{{KE}}{{\eta \mu \left( {180^\circ - \varphi } \right)}} = \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{\eta \mu \omega }} \Leftrightarrow \frac{{KE}}{{\eta \mu \varphi }} = \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{\eta \mu \omega }}$ και στο $\displaystyle {\rm K}\Delta \Gamma$ $\displaystyle \frac{{K\Delta }}{{\eta \mu \varphi }} = \frac{{\Delta \Gamma }}{{\eta \mu \omega }} \Leftrightarrow \frac{{K\Delta }}{{\eta \mu \varphi }} = \frac{{\Delta \Gamma }}{{\eta \mu \omega }}$ .

Αφού $\displaystyle {\rm B}{\rm E} = \Delta \Gamma$ είναι και $\displaystyle {\rm K}{\rm E} = {\rm K}\Delta$

Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Re: Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Re: Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Re: Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Re: Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Re: Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Re: Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Re: Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Re: Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Re: Διχοτόμηση χωρίς στοιχεία..

Μέλη σε σύνδεση