Θεώρημα Vecten

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Επί των πλευρών ΑΒ και ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ και εκτός αυτού, κατασκευάζομεν τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΚ. Να αποδειχθεί ότι αι ευθείαι ΒΖ και ΓΔ τέμνονται επί του ύψους ΑΘ του τριγώνου ΑΒΓ.

[Eukleidis]

Αξίζει να δείτε εδώ:

http://www.telemath.gr/mathematical_euc ... vecten.php

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

To θεώρημα του Vecten αποτελείται από μια ομάδα 8 προτάσεων από τις οποίες την μια την προτείνει ο Αναστάσης. Μόλις λυθεί ας μελετήσουμε και τις υπόλοιπες, έχουν ενδιαφέρον.

[p_gianno]

Υπάρχει σχετική αναφορά από τον Κο Λάμπρου στην παρακάτω θέση
viewtopic.php?f=20&t=60

Π.Γ

Προσθήκη
και ένα ωραίο applet στη θέση
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/ ... cten.shtml

[Mihalis_Lambrou]

Επί των πλευρών ΑΒ και ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ και εκτός αυτού, κατασκευάζομεν τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΚ. Να αποδειχθεί ότι αι ευθείαι ΒΖ και ΓΔ τέμνονται επί του ύψους ΑΘ του τριγώνου ΑΒΓ.

1) Η απόδειξη του ίδιου του Vecten είναι:

Επί του ύψους ΑΘ και από την πλευρά του Α παίρνουμε ΑΛ = ΒΓ. Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα ΒΓΖ, ΑΓΛ είναι ίσα. Από αυτό έπεται εύκολα ότι η ΒΖ είναι κάθετη στην ΓΛ.
Όμοια η ΓΔ είναι κάθετη στην ΒΛ.
Συμπέρασμα, οι ΛΘ, ΒΖ, ΓΘ είναι τα ύψη του ΛΒΓ. Άρα συγκλίνουν.

2) Υπάρχει ωραία λύση και με Αναλυτική: Με κέντρο των αξόνων το Θ, μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα Α, Β, Γ είναι τα Β(-β, 0), Γ(γ,0), Α(0,α).
Εύκολα βλέπουμε ότι το Ζ είναι το Ζ(α+γ, γ) και το Δ είναι το Δ(-α-β,β).
Είναι τώρα απλό να γράψουμε τις εξισώσεις των ευθειών ΒΖ, ΓΔ και να διαπιστώσουμε ότι τέμνουν τον άξονα των y στο ίδιο σημείο. ό.έ.δ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Edit: Παναγιώτη, είχα ξεχάσει την αναφορά εξ ου και το νέο γράψιμο. Τα μηνύματα διασταυρώθηκαν.

[p_gianno]

Βάζω το σχήμα της λύσης του Κου Λάμπρου