Στόχος το κέντρο.

#1

: Μια φανερή και μια κρυφή.png (12.95 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

Έστω τρίγωνο ABC

και τυχαίο σημείο

της ευθείας

( διαφορετικό από τα B,C

).

Ας είναι E,Z

τα συμμετρικά του

ως προς τις ευθείες AB,AC

αντίστοιχα. Οι ευθείες $EB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZC$ έστω ότι τέμνονται στο

.

α) Δείξετε ότι τα σημεία A,E,T,Z

ανήκουν στον ίδιο κύκλο , έστω (C)

.

β) Αν οι εφαπτόμενες του κύκλου (C)

, στα

τέμνονται στο

, να δείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από το κέντρο , έστω

, του κύκλου (C)

.

Νίκος

thanasis.a · #2

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Μια φανερή και μια κρυφή.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έστω τρίγωνο και τυχαίο σημείο της ευθείας ( διαφορετικό από τα ).

Ας είναι τα συμμετρικά του ως προς τις ευθείες αντίστοιχα. Οι ευθείες $EB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZC$ έστω ότι τέμνονται στο .

α) Δείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο , έστω .

β) Αν οι εφαπτόμενες του κύκλου , στα τέμνονται στο , να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το κέντρο , έστω , του κύκλου .

Νίκος

: draw1.png (37.25 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

..καλημέρα Νίκο αλλά και σε όλους ..

ερώτημα α)

λόγω των ισοσκελών τριγώνων $\bigtriangleup AZD,ZDC\Rightarrow \hat{AZD}+\hat{DZC}=(\hat{AZT})=\hat{ADZ}+\hat{ZDC}\,\,\,(1)$ . Όμοια από τα ισοσκελή $\bigtriangleup AED,EBD\Rightarrow \hat{AED}+\hat{DEB}=(\hat{AET})=\hat{ADE}+\hat{BDE}\,\,\,(2)$

Όμως για τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων (1),(2) όπως φαίνεται στο σχήμα έχουμε : $\hat{ADZ}+\hat{ZDC}+\hat{ADE}+\hat{BDE}=180^{\circ}$ $\Rightarrow \hat{AZ(C)T}+\hat{AF(B)T}=180^{\circ} \Rightarrow AETZ$ εγγράψιμο.

ερώτημα β)

θα δείξουμε ότι $\bigtriangleup AEZ$ είναι ισοσκλελές.

Επειδή

μέσο της

και

μέσο της

έχουμε $FH\parallel EZ\Rightarrow \hat{HFA}=\hat{ZIA}\,\,\,\,(a)$ καθώς επίσης και $\hat{FHD}=\hat{IZH}\,\,\,\,(b)$ .

Επίσης $\check{ZIA}=\hat{IAE}+\hat{IEA}\,\,\,\,(c)$ (ως εξωτερική γωνία τριγώνου). Από την άλλη πλευρα έχουμε: $AFDH: \hat{AFD}=\hat{DHA}=90^{\circ}$ είναι εγγράψιμο οπότε: $\hat{AFH}=\hat{ADH}(=\hat{AZD}),\,\,\, (d)$ και επίσης $\hat{FHD}=\hat{DAF}\,\,\,\,(e)$

και ακόμα $\hat{EAF}=\hat{FAD},\,\,(g)$ (αφού $\bigtriangleup AED$ ισοσκελές)

Οι σχέσεις (a),(b),(c),(d),(e),(g) δείχνουν

$\hat{AEZ}=\hat{AZE}\Rightarrow A$ μέσο του τοξου

και άρα η

περνά από το μέσο

#3

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Μια φανερή και μια κρυφή.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έστω τρίγωνο και τυχαίο σημείο της ευθείας ( διαφορετικό από τα ).

Ας είναι τα συμμετρικά του ως προς τις ευθείες αντίστοιχα. Οι ευθείες $EB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZC$ έστω ότι τέμνονται στο .

α) Δείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο , έστω .

β) Αν οι εφαπτόμενες του κύκλου , στα τέμνονται στο , να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το κέντρο , έστω , του κύκλου .

Νίκος

Καλησπέρα σε όλους.

α) Αν $\displaystyle{\widehat A,\widehat B,\widehat C}$ οι γωνίες του τριγώνου ABC

, τότε: $\displaystyle{E\widehat AZ = 2\widehat A,E\widehat BC = 2\widehat B,B\widehat CZ = 2\widehat C}$

$\displaystyle{E\widehat BC = \widehat T + B\widehat CT \Leftrightarrow 2\widehat B = \widehat T + {180^0} - 2\widehat C \Leftrightarrow 2(\widehat B + \widehat C) = {180^0} + \widehat T \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{360^0} - 2\widehat A = {180^0} + \widehat T \Leftrightarrow E\widehat AZ + \widehat T = {180^0}}$ . Άρα το AETZ

είναι εγγράψιμο.

: Στόχος στο κέντρο.png (16.78 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

β)

, οπότε το

είναι το μέσο του τόξου $\overset\frown{EZ}$ και κατά συνέπεια τα σημεία P,A, O

είναι συνευθειακά.

Ηλιας Φραγκάκος · #4

george visvikis έγραψε:
Doloros έγραψε:
Μια φανερή και μια [b][color=#4000BF]Καλησπέρα σε όλους.[/color][/b] α) Αν $\displaystyle{\widehat A,\widehat B,\widehat C}$ οι γωνίες του τριγώνου , τότε: $\displaystyle{E\widehat AZ = 2\widehat A,E\widehat BC = 2\widehat B,B\widehat CZ = 2\widehat C}$ $\displaystyle{E\widehat BC = \widehat T + B\widehat CT \Leftrightarrow 2\widehat B = \widehat T + {180^0} - 2\widehat C \Leftrightarrow 2(\widehat B + \widehat C) = {180^0} + \widehat T \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{{360^0} - 2\widehat A = {180^0} + \widehat T \Leftrightarrow E\widehat AZ + \widehat T = {180^0}}$ . Άρα το είναι εγγράψιμο. [attachment=0]Στόχος στο κέντρο.png
β) , οπότε το είναι το μέσο του τόξου $\overset\frown{EZ}$ και κατά συνέπεια τα σημεία είναι συνευθειακά.

Κύριε Γιώργο, η λύση σας ήταν σαν κατεβασιά του Τζιοβάνι που βλέπουμε στο Youtube: Πρέπει να τη δεις δυο φορές για να την καταλάβεις μια. Πολύ Pro λύση! Πάρτε τώρα διαρκείας του Θρύλου, πάμθηνα, σε λίγες μέρες θα θέλετε δυο τσέπες σε
Κολοκοτρώνηδες. (Δεν καταλαβαίνω το χιούμορ του μπαμπά)

Στόχος το κέντρο.

Στόχος το κέντρο.

Re: Στόχος το κέντρο.

Re: Στόχος το κέντρο.

Re: Στόχος το κέντρο.

Μέλη σε σύνδεση