Καθετότητα

#1

ΑΣΚΗΣΗ

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ = 2ΑΒ. Έστω Μ το μέσο της ΒΓ και σημεία Ν,Ρ στην πλευρά ΑΓ ώστε ΑΝ=ΝΡ=ΡΓ. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΜΡ είναι ορθογώνιο.

Μπάμπης
(GM- 2009)

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ = 2ΑΒ. Έστω Μ το μέσο της ΒΓ και σημεία Ν,Ρ στην πλευρά ΑΓ ώστε ΑΝ=ΝΡ=ΡΓ. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΜΡ είναι ορθογώνιο.

mathfinder · #3

Καλησπέρα
Κι άλλη μία λύση στο συνημμένο.

Αθ. Μπεληγιάννης

Ιστοσελίδα · #4

Καλησπέρα
Αφού δεν πρόλαβα να στείλω τη λύση μου -ήταν ίδια με της Φωτεινής- να προτείνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο πνεύμα με την όμορφη άσκηση του Μπάμπη.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ=3ΑΒ. Τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται στην πλευρά ΑΓ έτσι, ώστε ΑΔ=ΔΕ=ΕΓ. Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ, να αποδείξετε ότι γωνία ΔΜΕ είναι ορθή.
Μίλτος Π.

#5

m.pαpαgrigorakis έγραψε: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ=3ΑΒ. Τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται στην πλευρά ΑΓ έτσι, ώστε ΑΔ=ΔΕ=ΕΓ. Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ, να αποδείξετε ότι γωνία ΔΜΕ είναι ορθή.
Μίλτος Π.

: miltos.png (16.72 KiB) Προβλήθηκε 1954 φορές

#6

Για την άσκηση του Μίλτου (1η λύση με εργαλεία της Γεωμετρίας και μόνο):

: 12-2-1010 Geometry.png (3.8 KiB) Προβλήθηκε 1954 φορές

Φέρνουμε τη ΔΒ.
Το Μ είναι το μέσο της ΒΓ, το Ε είναι το μέσο της ΓΔ άρα ΜΕ // ΒΔ.
Στο ισοσκελές ΑΔΒ φέρνουμε την διάμεσο ΑΚ στη ΒΔ, (που είναι και ύψος στη ΒΔ) και τη ΜΚ.
Στο ΔΒΓ: Μ μέσο ΒΓ, Κ μέσο ΒΔ άρα ΜΚ // ΓΔ και ΜΚ = ΓΔ/2 = ΔΑ, άρα ΜΚΑΔ παραλληλόγραμμο, οπότε ΜΔ // ΑΚ άρα ΜΔ κάθετη ΔΒ οπότε και ΜΔ κάθετη στην ΕΜ.

Γιώργος Ρίζος

Ο απόλυτος συντονισμός με τη διαφορετική (και κομψότερη) λύση της Φωτεινής (1:02)!

Ιστοσελίδα · #7

Καλησπέρα

Rigio έγραψε:Για την άσκηση του Μίλτου (1η λύση με εργαλεία της Γεωμετρίας και μόνο):

Γιώργο ευχαριστώ για τη λύση σου. Αυτή είχα στο μυαλό μου. Νομίζω ότι οι ασκήσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έτσι πρέπει να λύνονται, μόνο με εργαλεία Γεωμετρίας.
Φωτεινή ευχαριστώ για την κομψότατη λύση.

Προτείνω άλλη μία.
Είναι και συτή στη Γεωμετρία της Α Λυκείου, ύλη μέχρι της εφαρμογές των παραλληλογράμμων. Κατάλληλη και για μαθητές - όχι όμως πολύ εύκολη.

Σε ένα τρίγωνο ABΓ η γωνία Γ είναι 45 μοίρες και η γωνία Β είναι 15 μοίρες. Στην προέκταση της πλευράς ΓΑ προς το Α παίρνουμε τμήμα ΑΔ=2ΑΓ. Να υπολογίσετε τη γωνία ΑΔΒ.

Είμαι σίγουρος ότι θα προκύψει κομψότερη λύση από εκείνη που έχω.

Μίλτος

mathfinder · #8

Καλησπέρα
Μία λύση της ωραίας άσκησης στο συνημμένο .

Αθ. Μπεληγιάννης

p_gianno · #9

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Καλησπέρα

Προτείνω άλλη μία.
Είναι και συτή στη Γεωμετρία της Α Λυκείου, ύλη μέχρι της εφαρμογές των παραλληλογράμμων. Κατάλληλη και για μαθητές - όχι όμως πολύ εύκολη.

Σε ένα τρίγωνο ABΓ η γωνία Γ είναι 45 μοίρες και η γωνία Β είναι 15 μοίρες. Στην προέκταση της πλευράς ΓΑ προς το Α παίρνουμε τμήμα ΑΔ=2ΑΓ. Να υπολογίσετε τη γωνία ΑΔΒ.

Είμαι σίγουρος ότι θα προκύψει κομψότερη λύση από εκείνη που έχω.

Μίλτος

Μια λύση που μοιάζει με αυτή του Θανάση , με διαφορετική αφετηρία όμως.
Την αναρτώ μια και την έγραψα.
Η απόδειξη μπορεί να παραλλαχθεί κατά πολλούς τρόπους

Miltos.pdf: (43.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 88 φορές

Π.Γ

#10

Δίνω μια λύση με εργαλεία της τριγωνομετρίας.
Το βλέπω ότι ο φάκελος λέει Γεωμετρία Α΄ Λυκείου.
Όμως, πρώτον: Οι βοηθητικές που φέρνω είναι λιγότερες από ότι απαιτούν οι "καθαρές" γεωμετρικές λύσεις, και η πορεία επίλυσης πιο "ευθεία" άρα είναι πιο προσιτή στους μαθητές.
δεύτερον: Οι ασκήσεις είναι επινοήσεις ανθρώπινες, οπότε η ταξινόμησή τους σε κατηγορίες είναι υποκειμενική και συνήθως εξυπηρετεί διδακτικούς στόχους. Π.χ. Λέμε στην τάξη: "Σας προτείνω να το λύσετε έτσι κι όχι αλλιώς". Όμως, ως εδώ. Έξω από την τάξη (σε διαγωνισμούς, στο mathematica ή όπου αλλού ΔΕΝ μπαίνουν περιορισμοί.
Το επαναλαμβάνω: Δεν συμφωνώ ή μάλλον δεν κατανοώ τι σημαίνει η φράση: "Αυτή η άσκηση ανήκει στη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου και κάθε άλλη λύση απορρίπτεται".
Αντιθέτως, αν βρεθεί απλούστερη λύση με άλλα εργαλεία, ΔΕΝ απορρίπτουμε τη λύση, αλλάζουμε (ή επεκτείνουμε) την ταξινόμηση της άσκησης.

: 14-2-1010 Geometry.png (7.18 KiB) Προβλήθηκε 1791 φορές

Φέρνουμε το ύψος ΑΕ στη ΓΒ. Το ΑΓΕ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $\displaystyle {\rm A}{\rm E} = \frac{\beta }{{\sqrt 2 }}$ .
Στο ΑΕΒ:
$\displaystyle \eta \mu 15^\circ = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}{\rm B}}}\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4} = \frac{{\frac{\beta }{{\sqrt 2 }}}}{\gamma } \Leftrightarrow \frac{\beta }{\gamma } = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} \Leftrightarrow$
$\displaystyle\gamma = \frac{{2\beta }}{{\sqrt 3 - 1}} = \beta \left( {\sqrt 3 + 1} \right)$

Στο ΑΒΔ φέρνουμε το ύψος ΔΖ στην ΑΒ. Στο ορθογώνιο ΑΔΖ είναι $\displaystyle \widehat{\rm A} = 60^\circ$ άρα $\displaystyle {\rm A}{\rm Z} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{2} = \beta ,\;\;\Delta {\rm Z} = \beta \sqrt 3$ .
Τότε, στο ορθογώνιο ΒΖΔ είναι:
$\displaystyle \varepsilon \phi \widehat{{\rm B}\Delta {\rm Z}} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{\Delta {\rm Z}}} = \frac{{\gamma - \beta }}{{\beta \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\beta - \beta }}{{\beta \sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat{{\rm B}\Delta {\rm Z}} = 45^\circ \Rightarrow \widehat\Delta = 75^\circ$

Γιώργος Ρίζος

edit 20-3-2010: Eδώ υπάρχουν κι άλλες λύσεις στην ίδια άσκηση.

Ιστοσελίδα · #11

Καλησπέρα.
Ευχαριστώ, Θανάση, Παναγιώτη και Γιώργο για τις λύσεις που στείλατε.
Η λύση που έχω είναι πανομοιότυπη με του Θαναση (mathfinder) και του Παναγιώτη (math_finder). Την γράφω, μόνο επειδή έχει διαφορετικό "ξεκίνημα"
Από το Δ φέρνουμε το κάθετο τμήμα ΔΕ στην ΑΒ, και έστω Ζ το μέσον του ΑΔ
Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΔ θα έχουμε ότι ΕΖ=ΖΔ=ΖΑ. Η γωνία ΖΑΕ είναι 60 μοίρες έτσι η γωνία ΑΔΕ είναι 30 μοίρες και το τρίγωνο ΖΕΑ είναι ισόπλευρο οπότε θα είναι και ΕΖ=ΕΑ. Τώρα το τρίγωνο ΕΑΓ είναι ισοσκελές από όπου έχουμε την γωνία ΑΓΕ 30 μοίρες. Τα τρίγωνα ΓΕΔ και ΓΕΒ είναι ισοσκελή από όπου έχουμε ότι ΓΕ=ΕΔ και ΓΕ=ΕΒ. Από τις τελευταίες σχέσεις προκύπτει το τρίγωνο ΒΕΔ ορθογώνιο και ισοσκελές. Έτσι η γωνία ΕΔΒ είναι 45 μοίρες άρα η ζητούμενη είναι 30+45=75 μοίρες.
Μίλτος

alkmel · #12

Και μια λύση με εγγεγραμμένες.

Καθετότητα

Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση