Διχοτόμος από έγκεντρο

#1

: Διχοτόμος από έγκεντρο.png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Κύκλος διέρχεται από το έγκεντρο

τριγώνου

, εφάπτεται της πλευράς

στο

και τέμνει την πλευρά

στο

και την προέκτασή της στο

. Να δείξετε ότι η

διχοτομεί τη γωνία $H\widehat IE.$

Όλες οι λύσεις δεκτές (και εκτός φακέλου).

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε:
Διχοτόμος από έγκεντρο.png
Κύκλος διέρχεται από το έγκεντρο τριγώνου , εφάπτεται της πλευράς στο και τέμνει την πλευρά

στο και την προέκτασή της στο . Να δείξετε ότι η διχοτομεί τη γωνία $H\widehat IE.$

Όλες οι λύσεις δεκτές (και εκτός φακέλου).

Καλησπέρα κύριε Γιώργο.

Έστω $\widehat{ABI}=\widehat{IBC}=\widehat{BEI}=x$ (λόγω εφαπτόμενης).

Έστω ακόμη $\widehat{BAI}=\widehat{IAC}=y$ , $\widehat{EBA}=a$ και τέλος

το σημείο τομής της

με την

.

Από το εγγεγραμένο EHIB

έχουμε $\widehat{IHC}=a+x=\widehat{BEK}+\widehat{EBK}=\widehat{BKI}$ .

Άρα, $\widehat{BKI}=\widehat{IHC} \Leftrightarrow \widehat{KAI}+\widehat{KIA}=\widehat{HAI}+\widehat{AIH} \Leftrightarrow \widehat{EIA}=\widehat{AIH}$ .

#3

Με πρόλαβε ο Ορέστης .

Μια από τα ίδια.

: Διχοτόμος απο έγκεντρο.png (32.24 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Όλες οι κίτρινες γωνίες είναι $\theta$ και άρα $x = y = \omega + \theta$ . Τα υπόλοιπα απλά

Φιλικά, Νίκος

#4

Να ευχαριστήσω τον Νίκο και τον Ορέστη ή Γιώργο Θαλάσση (κατά τον Νίκο) ή παιδί φάντασμα, για τις

ενδεδειγμένες λύσεις τους και για λόγους προυλαρισμού, να δώσω άλλη μία λύση.

: Διχοτόμος από έγκεντρο.b.png (19.79 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές

Έστω

το κέντρο του κύκλου, η

τέμνει τον κύκλο στο

και η

την

στο

$\displaystyle{B\widehat KF = 2({180^0} - F\widehat IB) = 2\left( {{{180}^0} - {{90}^0} - \frac{{\widehat C}}{2}} \right) = {180^0} - \widehat C}$ , άρα το BKMC

είναι εγγράψιμο,

οπότε $\displaystyle{KM \bot EH}$ και το ζητούμενο έπεται.

Διχοτόμος από έγκεντρο

Διχοτόμος από έγκεντρο

Re: Διχοτόμος από έγκεντρο

Re: Διχοτόμος από έγκεντρο

Re: Διχοτόμος από έγκεντρο

Μέλη σε σύνδεση