τριπλάσιο τμήμα

#1

: τριπλάσιο τμήμα.png (6.91 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Έστω τετράγωνο ABCD

. Γράφω το τεταρτοκύκλιο (A,AC)

που τέμνει στα $E\,\,,N$

τις προεκτάσεις προς τα $B\,\,,D$ των $AB\,\,,AD$ αντίστοιχα. Πάνω στο τεταρτοκύκλιο

και ανάμεσα στα $N\,\,,C$ έστω σημείο

τέτοιο ώστε $\widehat {EDC} = \widehat {CDZ}$ .

Δείξετε ότι DE = 3DZ

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλό μεσημέρι Νίκο. Ωραία άσκηση!

Έστω $K \equiv DE \cap CB, L \equiv ZE \cap CB$ .

Θα δείξουμε πρώτα ότι LK=KB

(1).

Έστω $DA=AB=x, AC=AE=x\sqrt{2}, BE=x(\sqrt{2}-1)$ .

Τα τρίγωνα $\vartriangle BKE ,\vartriangle ADE$ είναι όμοια, άρα $\dfrac{KB}{DA}=\dfrac{BE}{AE} \Rightarrow KB=\dfrac{x(2-\sqrt{2})}{2}$ (2).

Από την δοσμένη ισότητα γωνιών, μπορούμε εύκολα με γωνίες να πάρουμε ότι $\vartriangle LBE \sim \vartriangle DEA \Rightarrow \dfrac{LB}{AE}=\dfrac{BE}{AD} \Rightarrow LB=x(2-\sqrt{2})$ (3).

Από (2) , (3) $LB=2BK \Rightarrow LK=KB$ , και η (1) δείχτηκε.

Φέρνουμε $ZN \perp AE$ , με

σημείο της

, και έστω $M \equiv ZN \cap DE, T \equiv ZN \cap DC$ .

Είναι $ZN \parallel LB$ , και LK=KB

, οπότε

(γνωστό λήμμα).

Στο $\vartriangle DZM$ , $DT \perp ZM, \widehat{ZDT}=\widehat{TDM} \Rightarrow ZT=TM, DZ=ZM$ .

Οπότε, MN=ZM=ZT+TM=2TM

.

Από τα όμοια, $\vartriangle DTM, \vartriangle MNE$ , και MN=2TM

, είναι

.

Αφού επίσης DZ=DM

, είναι

, ό.έ.δ.

Υ.Γ. Η άσκηση λύνεται πιο απλά με τριγωνομετρία.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Doloros έγραψε:τριπλάσιο τμήμα.png

Έστω τετράγωνο . Γράφω το τεταρτοκύκλιο που τέμνει στα $E\,\,,N$

τις προεκτάσεις προς τα $B\,\,,D$ των $AB\,\,,AD$ αντίστοιχα. Πάνω στο τεταρτοκύκλιο

και ανάμεσα στα $N\,\,,C$ έστω σημείο τέτοιο ώστε $\widehat {EDC} = \widehat {CDZ}$ .

Δείξετε ότι

Έστω $\displaystyle{ZD \cap EA = Q}$

Επειδή $\displaystyle{DA \bot DC \Rightarrow DA}$ διχοτόμος της $\displaystyle{\angle EDQ \Rightarrow AQ = AE = \alpha \sqrt 2 }$ και από Π.Θ $\displaystyle{DQ = a\sqrt 3 = DE}$

$\displaystyle{QD \cdot DZ = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} - {a^2} = {a^2} \Rightarrow a\sqrt 3 \cdot DZ = {a^2} \Rightarrow \boxed{DZ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{DE}}{3}}}$

: TT.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές

Ιστοσελίδα · #4

Doloros έγραψε:
Έστω τετράγωνο . Γράφω το τεταρτοκύκλιο που τέμνει στα $E\,\,,N$

τις προεκτάσεις προς τα $B\,\,,D$ των $AB\,\,,AD$ αντίστοιχα. Πάνω στο τεταρτοκύκλιο

και ανάμεσα στα $N\,\,,C$ έστω σημείο τέτοιο ώστε $\widehat {EDC} = \widehat {CDZ}$ .

Δείξετε ότι

Καλησπέρα. Νομίζω ότι ένα σχήμα αρκεί...

: fragakis.png (28.55 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

#5

Ο κ. Μιχαήλ Νάννος μας τραγουδάει συχνά.
Πολύ όμορφο . Σαν τραγούδι! που μπορούν να το σιγοτραγουδούν όλοι!

#6

Doloros έγραψε:τριπλάσιο τμήμα.png

Έστω τετράγωνο . Γράφω το τεταρτοκύκλιο που τέμνει στα $E\,\,,N$

τις προεκτάσεις προς τα $B\,\,,D$ των $AB\,\,,AD$ αντίστοιχα. Πάνω στο τεταρτοκύκλιο

και ανάμεσα στα $N\,\,,C$ έστω σημείο τέτοιο ώστε $\widehat {EDC} = \widehat {CDZ}$ .

Δείξετε ότι

Καλημέρα σε όλους!

Με ύλη Β' Λυκείου. Θέτω DZ=x, DE=y

και έστω

η πλευρά του τετραγώνου, οπότε η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου θα είναι $a\sqrt 2.$

: Τριπλάσιο τμήμα.1.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

Πτολεμαίος στο εγγράψιμο ADZE:

$\displaystyle{a\sqrt 2 x + a\sqrt {{y^2} - {x^2}} = a\sqrt 2 y \Leftrightarrow }$ $\boxed{y=3x}$

#7

Και ένα σχήμα (όχι τόσο φανερό όσο του Μιχάλη Νάννου)

: Τριπλάσιο τμήμα.2.png (13.04 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

τριπλάσιο τμήμα

τριπλάσιο τμήμα

Re: τριπλάσιο τμήμα

Re: τριπλάσιο τμήμα

Re: τριπλάσιο τμήμα

Re: τριπλάσιο τμήμα

Re: τριπλάσιο τμήμα

Re: τριπλάσιο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση