Σε παραλληλόγραμμο
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Σε παραλληλόγραμμο
Δίνεται παραλληλόγραμμο με και
Αν η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου να βρείτε το μέτρο της γωνίας
Αν η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου να βρείτε το μέτρο της γωνίας
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Σε παραλληλόγραμμο
socrates έγραψε:Δίνεται παραλληλόγραμμο με και
Αν η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου να βρείτε το μέτρο της γωνίας
Θα βάλω πλήρη λύση και σχήμα σε λίγο...
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Σε παραλληλόγραμμο
Διαγραφή.
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Πέμ Ιουν 15, 2017 12:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13261
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Σε παραλληλόγραμμο
Θεωρείς ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται πάνω στην πλευρά Αυτό δεν είναι σωστό, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Από εκφώνηση . Ως εντός εναλλάξ, .socrates έγραψε:Δίνεται παραλληλόγραμμο με και Αν η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
να βρείτε το μέτρο της γωνίας
Επομένως,
Ως ακτίνες ίδιου κύκλου, . Επειδή βαίνει σε ημικύλιο, είναι ορθή.
Συνεπώς, από γνωστό θεώρημα, .
Άρα, ισόπλευρο με
Σε παραλληλόγραμμο.png
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Σε παραλληλόγραμμο
Ωραία άσκηση!
Παίρνουμε σημείο στην προέκταση της (προς το ), ώστε (1).
Έστω .
Προφανώς (2).
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το , και η είναι διχοτόμος της γωνίας , οπότε είναι και ύψος και διάμεσος, οπότε .
Συνεπώς, στο τρίγωνο , η είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές με .
Έπεται ότι το ανήκει στον κύκλο , συνεπώς τα είναι ομοκυκλικά.
Άρα, το είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο, δηλαδή , άρα , οπότε το είναι ισοσκελές με (3).
Από (1), (3), , συνεπώς ισόπλευρο, άρα .
Καταλήγουμε ότι .
Υ.Γ. Η επιλογή του σημείου προϋποθέτει , που ισχύει, αφού .
Παίρνουμε σημείο στην προέκταση της (προς το ), ώστε (1).
Έστω .
Προφανώς (2).
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το , και η είναι διχοτόμος της γωνίας , οπότε είναι και ύψος και διάμεσος, οπότε .
Συνεπώς, στο τρίγωνο , η είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές με .
Έπεται ότι το ανήκει στον κύκλο , συνεπώς τα είναι ομοκυκλικά.
Άρα, το είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο, δηλαδή , άρα , οπότε το είναι ισοσκελές με (3).
Από (1), (3), , συνεπώς ισόπλευρο, άρα .
Καταλήγουμε ότι .
Υ.Γ. Η επιλογή του σημείου προϋποθέτει , που ισχύει, αφού .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης