τετράπλευρο και γωνία

#1

Να δείξετε ότι $\theta = 30^\circ$ .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Παίρνουμε σημείο

έτσι ώστε το EBA

να είναι ισόπλευρο και το

να είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο με το

ως προς την

.

Προφανώς αφού $\widehat{BEA}=60^o$ , $\widehat{BDA}=30^o$ και EB=EA

, έχουμε πως EB=EA=ED

. Επομένως το τρίγωνο BED

είναι ισοσκελές.

Επειδή όμως $\widehat{EBD}=\widehat{EBA}-\widehat{DBA}=60^o-40^o=20^o$ , έχουμε πως $\widehat{EDB}=20^o$ , άρα και τα E, C, D

είναι συνευθειακά.

Όμως έχουμε πως $\widehat{BCE}=30^o$ , άρα αφού to $\widehat{BAE}=60^o$ και AB=AE

, έχουμε από γνωστό λήμμα πως AC=AE=AB

, άρα το

είναι ισοσκελές και επομένως $\widehat{BAC}=80^o$ , όπου εύκολα βρίσκουμε πως $\widehat{CAD}=30^o$