Τετράπλευρο 12.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 728
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράπλευρο 12.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Αύγ 11, 2017 8:33 pm

7.png
7.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές


Για το τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος, ισχύει ότι AB=\Gamma \Delta .
Υπολογίστε την γωνία \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τετράπλευρο 12.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Παρ Αύγ 11, 2017 8:51 pm

Έστω K το περίκεντρο του \vartriangle DAC και P \equiv BA \cap CK.

Είναι \widehat{AKP}=180^\circ-\widehat{AKC}=180^\circ-2\widehat{ADC}=180^\circ-140^\circ=40^\circ, οπότε \widehat{AKP}=40^\circ (1).

Επίσης, \widehat{CAK}=20^\circ \Rightarrow \widehat{BAK}=120^\circ+20^\circ=140^\circ \Rightarrow \widehat{KAP}=40^\circ (2).

Από (1), (2), \widehat{AKP}=\widehat{KAP} \Rightarrow PA=PK (3).

Επίσης, \widehat{CKD}=2\widehat{CAD}=60^\circ και KC=KD, οπότε KD=KC=CD=AB \Rightarrow KC=AB (4).

Από (3), (4) , και το αντίστροφο Θ. Θαλή AK \parallel BC  \Rightarrow 20^\circ+\theta+140^\circ=180^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=20^\circ}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τετράπλευρο 12.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Ορέστης Λιγνός » Παρ Αύγ 11, 2017 9:46 pm

Έστω K το συμμετρικό του A ως προς την BD και E \equiv AK \cap BD.

Είναι BE \perp AK, AE=EK \Rightarrow \widehat{BAK}=\widehat{BKA}=70^\circ (1).

Επίσης, \widehat{KAC}=\widehat{BAC}-\widehat{BAK}=120^\circ-70^\circ=50^\circ, και αφού \widehat{CAD}=30^\circ, \widehat{KAD}=80^\circ (2).

Επίσης, DK=DA (ανήκει στην μεσοκάθετο του AK) και επομένως από (2), \widehat{AKD}=80^\circ=\widehat{ACD} \Rightarrow A,K,C,D ομοκυκλικά.

Οπότε, \widehat{CKD}=\widehat{CAD}=30^\circ \Rightarrow \widehat{CKD}=30^\circ (3).

Από (2), (3) είναι \widehat{BKC}=\widehat{BKA}+\widehat{AKD}+\widehat{DKC}=180^\circ \Rightarrow B,K,C συνευθειακά και άρα \widehat{DBK}=\widehat{DBC}=\theta (4).

Όμως, \widehat{DBK}=\widehat{ABD}=20^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=20^\circ}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2955
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Τετράπλευρο 12.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Μιχάλης Νάννος » Παρ Αύγ 11, 2017 10:08 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Για το τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος, ισχύει ότι AB=\Gamma \Delta .
Υπολογίστε την γωνία \theta .
Τετράπλευρο-12.jpg
Τετράπλευρο-12.jpg (31.61 KiB) Προβλήθηκε 71 φορές
Αν {\rm B}' το συμμετρικό του {\rm B} ως προς {\rm A}\Delta, τότε σχηματίζονται το ισόπλευρο \triangleleft {\rm A}{\rm B}{\rm B}', τα ίσα ισοσκελή \triangleleft \Delta {\rm B}{\rm B}', \triangleleft {\rm B}'\Gamma \Delta ({20^ \circ }{,80^ \circ }{,80^ \circ }) και από το εγγράψιμο {\rm B}\Gamma \Delta {\rm B}' έχουμε \theta  = \Delta \widehat {{\rm B}'}\Gamma  = {20^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράπλευρο 12.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Doloros » Σάβ Αύγ 12, 2017 12:07 am

τετράπλευρο 12.png
τετράπλευρο 12.png (40.16 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές


Επειδή \widehat \phi  = 10^\circ , ο περιγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ADC θα έχει επίκεντρη γωνία

\widehat {DKC} = 60^\circ , Με K πάνω στην BD το δε τρίγωνο DKC θα είναι ισόπλευρο , οπότε

\widehat y = 20^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat x = \widehat y = 20^\circ } . Το τετράπλευρο ABCK είναι εγγράψιμο κι αφού

KA = KC η ευθεία BD είναι διχοτόμος της γωνίας \widehat {ABC} οπότε : \boxed{\widehat \theta  = 20^\circ }.

Παρατήρηση :

Το τετράπλευρο κατασκευάζεται και χωρίς την πληροφορία ότι \boxed{\widehat x = 20^\circ } .

Θα μπορούσε να δοθεί η γωνία των 20° αλλά όχι η ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων .



Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 728
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τετράπλευρο 12.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Αύγ 12, 2017 5:42 pm

7.png
7.png (17.87 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές


Καλησπέρα.

Φέρνω το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma P, ίσο και παράλληλο με το AB.
Επίσης φέρνω τα τμήματα \Delta P, BP.
Από το παραλληλόγραμμο ABP\Gamma, το ισοσκελές τρίγωνο P\Gamma \Delta και την υπόθεση
προκύπτουν εύκολα όλες οι κόκκινες γωνίες.
Το τετράπλευρο BP\Gamma \Delta είναι εγγράψιμο (αφού \angle BP\Gamma +\angle \Gamma \Delta B=180^{0}).
Συνεπώς \theta =\angle \Delta P\Gamma \Rightarrow \theta =20^{0}.



Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης