Τρίγωνο 41.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 730
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο 41.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Αύγ 13, 2017 9:03 am

9.png
9.png (5.48 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές


Καλημέρα.

Στο τρίγωνο AB\Gamma του παραπάνω σχήματος, ισχύει ότι AB=A\Delta +\Delta \Gamma .
Υπολογίστε την γωνία \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1068
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τρίγωνο 41.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Αύγ 13, 2017 10:13 am

Καλημέρα!

Παίρνουμε σημείο K στην προέκταση της AD (προς το D) ώστε DK=DC.

Είναι τότε, AB=AD+DC=AD+DK=AK \Rightarrow AB=AK (1).

Επίσης, \widehat{KDC}=\widehat{ADB}=\widehat{DAC}+\widehat{DCA}=3\theta, οπότε \widehat{KDC}=\widehat{ADB}=3\theta (2).

Είναι \widehat{BKD}=\widehat{BKA}=90^\circ-\dfrac{\widehat{BAD}}{2}=90^\circ-\dfrac{180^\circ-4\theta}{2}=2\theta \Rightarrow \widehat{BKD}=2\theta και \widehat{KBD}=\theta.

Συνεπώς, \widehat{KAC}=\theta=\widehat{KBC} \Rightarrow ACKB εγγράψιμο, και άρα \widehat{AKC}=\widehat{ABC}=\theta.

Από το ισοσκελές \vartriangle DKC προκύπτει 3\theta+\theta+\theta=180^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=36^\circ}.

fanis 41.png
fanis 41.png (32.32 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Κυρ Αύγ 13, 2017 10:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5048
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο 41.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Doloros » Κυρ Αύγ 13, 2017 10:22 am

τρίγωνο41 Φάνης.png
τρίγωνο41 Φάνης.png (24.17 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές


Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle ABC που η AD τον τέμνει ακόμα στο E.

Προφανώς \widehat {CBE} = \widehat \theta \,\, \Rightarrow \widehat {ABE} = 2\widehat \theta \, και αφού \widehat {{a_3}} = 2\widehat \theta \,

( εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο) το \vartriangle ABE είναι ισοσκελές με άμεση συνέπεια :

\boxed{DE = DC} . Μα τώρα \vartriangle BDE = \vartriangle ADC\,\,(\Gamma  - \Pi  - \Gamma ) συνεπώς

AD = BD \Rightarrow AD + DC = BD + DC \Rightarrow AB = AC . Άρα 5\widehat \theta \, = 180^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat \theta \, = 36^\circ } .

Παρατήρηση: Τελικά διαβάζοντας τη λύση του Ορέστη βλέπω ότι ακολούθησα αντίστροφη πορεία της δικής του. Εν γένει σε τέτοιες περιπτώσεις το τέχνασμα,

να έχω το άθροισμα ευθυγράμμων τμημάτων ως ένα ευθύγραμμο τμήμα συνήθως βοηθά τα μέγιστα για τη λύση .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5048
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο 41.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Doloros » Κυρ Αύγ 13, 2017 11:55 am

Και μια λύση εκτός φακέλου

Θέτω AD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = y. Προεκτείνω την AC προς το C κατά τμήμα

CT = CD = y και έστω Sτο σημείο τομής των ευθειών AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TD.

τρίγωνο 41 Φάνης_new.png
τρίγωνο 41 Φάνης_new.png (16.31 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές


Στο ισοσκελές \vartriangle CDT οι παρά τη βάση του γωνίες προφανώς είναι από \widehat \theta κάθε μια

με άμεση συνέπεια και το \vartriangle SBD να είναι ισοσκελές με κορυφή το S οπότε \widehat \omega  = 2\widehat \theta \,\,\,( * )

και το \vartriangle DAT ισοσκελές με κορυφή το D οπότε AD = DT = x\,\,(1). Επίσης

Επειδή στο \vartriangle DAC η μια γωνία είναι διπλάσια της άλλης θα έχω \boxed{{x^2} = y(b + y)\,\,}\,\,(2)

( Είναι γνωστό λήμμα, άσκηση εισαγωγής, που έχει λανσαριστεί από τον KARKAR) .

Από δε την ομοιότητα , \vartriangle TSA \approx \vartriangle ACD \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{CD}} = \dfrac{{TA}}{{AD}} \Rightarrow \boxed{xSA = y(b + y)}\,\,(3) .

Από τις (2)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3) προκύπτει : \boxed{SA = x = AD \Rightarrow SB = SD = y} τα υπόλοιπα απλά .


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 730
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τρίγωνο 41.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Αύγ 14, 2017 7:40 pm

13.png
13.png (5.17 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές


Υπολογίστε την γωνία \theta , εάν AB+B\Gamma =\Gamma \Delta , χρησιμοποιώντας
το τέχνασμα που αναφέρει παραπάνω ο Νίκος.

Σήμερα, μόνο για μαθητές.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1068
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τρίγωνο 41.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Ορέστης Λιγνός » Δευ Αύγ 14, 2017 8:41 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
13.png


Υπολογίστε την γωνία \theta , εάν AB+B\Gamma =\Gamma \Delta , χρησιμοποιώντας
το τέχνασμα που αναφέρει παραπάνω ο Νίκος.

Σήμερα, μόνο για μαθητές.



Είναι \widehat{BCA}=90^\circ-\phi, οπότε \widehat{ACD}=180^\circ-\widehat{BCA}-2\phi=180^\circ-(90^\circ-\phi)-2\phi=90^\circ-\phi=\widehat{BCA}

Φέρνουμε AK \perp CD, οπότε \widehat{BCA}=\widehat{KCA}, και άρα τα τρίγωνα \vartriangle ABC ,\vartriangle AKC είναι ίσα.

Έτσι, AB=AK και CB=CK.

Ακόμη, AB+BC=CD=CK+KD=CB+KD \Rightarrow AB=KD \Rightarrow AK=KD, οπότε το \vartriangle KAD είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, συνεπώς \boxed{\theta=45^\circ}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5638
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο 41.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από george visvikis » Τρί Αύγ 15, 2017 9:20 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:13.png

Υπολογίστε την γωνία \theta , εάν AB+B\Gamma =\Gamma \Delta , χρησιμοποιώντας
το τέχνασμα που αναφέρει παραπάνω ο Νίκος.

Σήμερα, μόνο για μαθητές.


Καλημέρα!
Τρίγωνο 41.β.png
Τρίγωνο 41.β.png (16.44 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές

Προεκτείνω την CB προς το B κατά τμήμα BE=BA, οπότε CE=CD και το τρίγωνο BEA είναι ορθογώνιο

και ισοσκελές, δηλαδή B\widehat AE=B\widehat EA=45^0. Αλλά, A\widehat CD=180^0-A\widehat CB-2\varphi=90^0-\varphi=A\widehat CB.

Άρα η AC είναι μεσοκάθετος του DE, το ADCE είναι χαρταετός και \boxed{\theta=45^0}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5048
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο 41.

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Doloros » Τρί Αύγ 15, 2017 1:24 pm

Χρόνια πολλά σε όλους όλους .

Ας ξεκινήσουμε με τη κατασκευή .


Τρίγωνο 41 έχτρα ερώτημα_αλλιώς.png
Τρίγωνο 41 έχτρα ερώτημα_αλλιώς.png (27.27 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές


Σε κύκλο διαμέτρου AC θεωρώ σημείο B και φέρνω την εφαπτομένη του ευθεία g

στο σημείο C. Προφανώς \widehat \phi  = \widehat \theta ( από χορδή κι εφαπτομένη ) . Αν τώρα

θεωρήσουμε το συμμετρικό σημείο S του B ως προς τη g , θα είναι \widehat {SCB} = 2\widehat \phi.

Η SC τέμνει, ακόμα τον κύκλο στο E και αφού η AC είναι άξονας συμμετρίας,

θα είναι CB = CE και AB = AE. Προεκτείνω την CE προς το E κατά τμήμα

ED = AE = AB άρα το τρίγωνο ACD έχει τις προδιαγραφές της εκφώνησης .

Αφού δε \widehat {AEC} = 90^\circ ( βαίνει σε ημικύκλιο ) στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

EAB οι γωνίες στα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D είναι από 45^\circ.



Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης