ΑΣΚΗΣΗ ΠΟΥ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΕ ΚΑΠΟΙΟΥΣ.......

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Μια άσκηση που μου έδωσε κάποιος πριν κάποια χρόνια....Μου 'πε μάλιστα πως η άσκηση αυτή κίνησε το ενδιαφέρον κάποιων σμηνιτών και κάποιου αξιωματικού στην αεροπορική βάση της Ανδραβίδας.Έχω υπ΄ όψιν μου δύο λύσεις καθαρά γεωμετρικές.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΔ είναι διχοτόμος και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ.Πάνω στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Κ , Λ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΒΚ=ΓΛ.
'Εστω Ε το μέσο του ΚΛ.
Αποδείξτε ότι η ΕΜ είναι παράλληλη της ΑΔ.

[S.E.Louridas]

Επίτρεψε μου συνάδελφε να πώ πόσο μεγάλη είναι η αξία στην Γεωμετρία της παράλληλης μεταφοράς και όταν μάλιστα από αυτή δημιουργούνται είδικά σχήματα με των οποίων τις ιδιότητες λύνουμε το πρόβλημα.
Ομως δεν θα ήταν επίσης όμορφο να ζητούσαμε τον Γ.Τόπο των μέσων των ευθ. τμημάτων ΚΛ, αφαιρώντας από τα δεδομένα την αναφορά στην διχοτόμο;

S.E.Louridas

[vittasko]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έχει συζητηθεί και Εδώ. Απλοποιείστε τη λύση της Σταυρούλας.

Κώστας Βήττας.

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Κύριε Λουρίδα,ασφαλώς και θα 'ταν καλύτερα αν ζητούσα το γ.τ.,έτσι όπως θέλετε.
Κύριε Κώστα, δεν ήξερα ότι το θέμα είχε τεθεί.

[S.E.Louridas]

Επίτρεψε μου φίλε συνάδελφε να επισημάνω ότι είπα ' θά ήταν επίσης όμορφο' όχι καλύτερο.

Με εκτίμηση

S.E.Louridas

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Άλλη μία αντιμετώπιση στην ιδιαίτερα χρήσιμη και διδακτική άσκηση:
Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΑ' (κάνουμε δηλαδή συμμετρία κέντρου Μ).
Αν Κ΄το συμμετρικό του Κ, τότε η Κ΄Λ είναι κάθετη στη διχοτόμο της ΑΓΑ΄(καθώς το τρίγωνο ΓΚ΄Λ είναι ισοσκελές), επομένως παράλληλη της ΑΔ (οι διχοτόμοι των γωνιών παραλληλογράμμου που πρόσκεινται στην ίδια πλευρά είναι κάθετες).

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Ευχαριστώ όσους ασχολήθηκαν.
Δίνω μια λύση διαφορετική από αυτές που δόθηκαν.

Από τα Κ,Β φέρω τις κάθετες στην ΑΔ. Αυτές τέμνουν την ΑΔ στα Ζ,Η και την ΑΓ στα Ρ,Ι.
Φυσικά ΑΚ=ΑΡ,ΑΒ=ΑΙ,Ζ μέσο της ΚΡ,Η μέσο της ΒΙ.
ΡΛ=ΑΛ-ΑΡ=ΑΓ-ΓΛ-ΑΡ=ΑΓ-ΒΚ-ΑΚ=ΑΓ-(ΒΚ+ΑΚ)=ΑΓ-ΑΒ.
ΓΙ=ΑΓ-ΑΙ=ΑΓ-ΑΒ.
Άρα ΡΛ=ΓΙ.
Στο τρίγωνο ΡΛΚ η ΖΕ είναι παράλληλη στην ΡΛ και ίση με το μισό της.
Στο τρίγωνο ΒΙΓ η ΜΗ είναι παράλληλη στην ΓΙ και ίση με το μισό της.
Έτσι ΖΕ=//ΜΗ.
Άρα το ΖΕΜΗ είναι παραλληλόγραμμο.Αυτό τελειώνει την απόδειξη.

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Στο παρακάτω επισυναπτόμενο φαίνονται δύο ακόμα σχήματα που ανταποκρίνονται σε δύο ακόμα περιπτώσεις.
Θέλω να φαίνεται πως και εκεί ισχύει ΡΛ=ΓΙ=ΑΓ-ΑΒ.
Τονίζω ότι η διανυσματική απόδειξη της πρότασης φωτίζει τις όποιες περιπτώσεις.Αυτή είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα πρόκληση, ειδικά για τους μαθητές.