Μόνο τρεις αριθμητικές πρόοδοι

Γιώργος Απόκης · #1

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς τρεις αριθμητικές πρόοδοι με πρώτο όρο το

, διαφορά ακέραιο

και οι οποίες έχουν ως όρους τους αριθμούς

και

.

#2

Έστω $\omega \in \mathbb{Z}$ η διαφορά της αριθμητικής προόδου $a_v,v \in \mathbb{N}^*$ , οπότε ισχύει: $a_v=5+(v-1)\omega,v \in \mathbb{N}^*$ .

Τότε υπάρχουν $k,n \in \mathbb{N}^*$ έτσι ώστε: a_k=57,a_n=113

.

Συνεπώς:
$a_k=57 \Leftrightarrow 5+(k-1)\omega=57 \Leftrightarrow (k-1)\omega=52~(I)$
και
$a_n=113 \Leftrightarrow 5+(n-1)\omega=113 \Leftrightarrow (n-1)\omega=108~(II)$

Αφού $\omega \in \mathbb{Z}$ και $k-1,n-1 \in \mathbb{N}$ από τις (I), (II)

προκύπτει ότι η διαφορά της προόδου είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 52 και 108.

Οι διαιρέτες του

είναι οι:

, ενώ του

είναι

.

Επομένως έχουμε τρία διαφορετικά $\omega$ (τα 1,2,4

), άρα τρεις αριθμητικές προόδους,

Γιώργος Απόκης · #3

Λευτέρη καλημέρα. Πράγματι αυτές είναι οι τιμές του $\omega$ . Θέλω να εκφράσω δύο απορίες μου γενικότερες :

1) Όπως είναι διατυπωμένη η άσκηση είναι απαραίτητη η επαλήθευση;

2) Αν η διατύπωση ήταν "Βρείτε όλες τις αριθμητικές προόδους που έχουν ...", θα χρειαζόταν επαλήθευση;

#4

Γιώργος Απόκης έγραψε:Λευτέρη καλημέρα. Πράγματι αυτές είναι οι τιμές του $\omega$ . Θέλω να εκφράσω δύο απορίες μου γενικότερες :

1) Όπως είναι διατυπωμένη η άσκηση είναι απαραίτητη η επαλήθευση;

2) Αν η διατύπωση ήταν "Βρείτε όλες τις αριθμητικές προόδους που έχουν ...", θα χρειαζόταν επαλήθευση;

Γιώργο καλημέρα.

Νομίζω πως δεν χρειάζεται επαλήθευση. Οι λύσεις που προκύπτουν είναι 3 και δεν υπάρχουν άλλες έτσι και αλλιώς.

Ας δούμε και άλλες απόψεις ...

Μόνο τρεις αριθμητικές πρόοδοι

Μόνο τρεις αριθμητικές πρόοδοι

Re: Μόνο τρεις αριθμητικές πρόοδοι

Re: Μόνο τρεις αριθμητικές πρόοδοι

Re: Μόνο τρεις αριθμητικές πρόοδοι

Μέλη σε σύνδεση