Άρρητη εξίσωση

mathxl · #1

Μια δική μου κατασκευή.
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την εξίσωση $\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {2x} = 2\sqrt {x + 1}$ .

Grigoris K. · #2

Καταρχάς πρέπει $\displaystyle{ x \geq 0 }$ .

Υψώνοντας στο τετράγωνο και χρησιμοποιώντας ότι $\displaystyle{ 2(a^2+ b^2) \geq (a+b)^2 }$ λαμβάνουμε:

$\displaystyle{ 4(x+1) = (\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{2x})^2 \leq 2(x+1)^2 \Rightarrow x \geq 1 }$ .

Επίσης ισχύει $\displaystyle{ 2\sqrt{x+1} - \sqrt{2x} = \sqrt{x^2+1} \geq \sqrt{2x} \Rightarrow \sqrt{x+1} \geq \sqrt{2x} \Rightarrow x\leq 1}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{ \boxed{x = 1} }$ (δεκτή λύση).

mathxl · #3

Πολύ όμορφη λύση. Πιο γρήγορη ίσως από αυτή που σκέφτηκα και πολύ συνοπτικά γραμμένη.

#4

Μία λύση παρατήρησης..
Πρέπει και αρκεί: $x\ge 0$
Παρατηρώ πως όταν x=1

επαληθεύεται επομένως αποτελεί λύση.
Αν x>1

τότε: $x^2>x \Rightarrow \sqrt{x^2+1}>\sqrt{x+1}$ και επιπλέον $2x>x+1\Rightarrow \sqrt{2x}>\sqrt{x+1}$ .
Mε πρόσθεση κατα μέλη βλέπουμε πως δε μπορεί να ικανοποιηθεί η εξίσωση για κάποιο x>1

.

Παρόμοια, αν $0\le x <1$ τότε x^2<x

δηλαδή και $\sqrt{x^2+1}<\sqrt{x+1}$ αλλά και $2x<x+1\Rightarrow \sqrt{2x}<\sqrt{x+1}$ .

Πάλι με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε αδύνατη την εξίσωση των μελών.
Επομένως μοναδική λύση η x=1

mathxl · #5

chris_gatos έγραψε:Μία λύση παρατήρησης..
Πρέπει και αρκεί: $x\ge 0$
Παρατηρώ πως όταν επαληθεύεται επομένως αποτελεί λύση.
Αν τότε: $x^2>x \Rightarrow \sqrt{x^2+1}>\sqrt{x+1}$ και επιπλέον $2x>x+1\Rightarrow \sqrt{2x}>\sqrt{x+1}$ .
Mε πρόσθεση κατα μέλη βλέπουμε πως δε μπορεί να ικανοποιηθεί η εξίσωση για κάποιο .

Παρόμοια, αν $0\le x <1$ τότε δηλαδή και $\sqrt{x^2+1}<\sqrt{x+1}$ αλλά και $2x<x+1\Rightarrow \sqrt{2x}<\sqrt{x+1}$ .

Πάλι με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε αδύνατη την εξίσωση των μελών.
Επομένως μοναδική λύση η

Αυτή είναι και η δική μου λύση.

S.E.Louridas · #6

Επειδή οι ασκήσεις του Βασίλη είναι τουλάχιστον πανέξυπνες, ας δούμε και την ημέτερη άποψη.

Παρατηρούμε ότι: $x \geqslant 0.\quad \sqrt {x^2 + 1} - \sqrt {x + 1} = \sqrt {x + 1} - \sqrt {2x} \Leftrightarrow$ $\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{x} {{\sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {x + 1} }} + \frac{1} {{\sqrt {x + 1} + \sqrt {2x} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

mathxl · #7

S.E.Louridas έγραψε:Επειδή οι ασκήσεις του Βασίλη είναι τουλάχιστον πανέξυπνες, ας δούμε και την ημέτερη άποψη.

Παρατηρούμε ότι: $x \geqslant 0.\quad \sqrt {x^2 + 1} - \sqrt {x + 1} = \sqrt {x + 1} - \sqrt {2x} \Leftrightarrow$ $\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{x} {{\sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {x + 1} }} + \frac{1} {{\sqrt {x + 1} + \sqrt {2x} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Ωραία βελτοστοποίηση της λύσης.

Άρρητη εξίσωση

Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση