Τριγωνομετρική

JimVerman · #1

Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης: K=sinx+cosx

με $x\in \mathbb{R}$ .

(Θα ήταν προτιμότερο να δοθούν πάνω από ένας τρόποι λύσης!)

#2

Την έχουμε δει πολλές φορές.

Από την ανισότητα

$\displaystyle{2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2}$

βρίσκουμε

$\displaystyle{K^2\leq 2\implies -\sqrt{2}\leq K\leq \sqrt{2}.}$

Η ισότητα $\displaystyle{K=\sqrt{2}}$ ισχύει π.χ. όταν $\displaystyle{x=\frac{\pi}{4},}$ ενώ η ισότητα $\displaystyle{K=-\sqrt{2}}$ ισχύει π.χ. όταν $\displaystyle{x=\frac{5\pi}{4}.}$

Άρα

$\displaystyle{\max K=\sqrt{2},~\min K=-\sqrt{2}.}$

#3

Aς δώσουμε άλλες δύο προσεγγίσεις (εννοείται ... εκτός ύλης)

Είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα που χρησιμοποιούμε για να αναδείξουμε το συχνά επαναλαμβανόμενο λάθος της πρόσθεσης ανισοτήτων, που περιέχουν αλληλεξαρτώμενη μεταβλητή.

Είναι π.χ. $\displaystyle{\begin{array}{l} - 1 \le \eta \mu x \le 1\\ - 1 \le \sigma \upsilon \nu x \le 1 \end{array}}$ αλλά δεν μπορούμε να προσθέσουμε κατά μέλη, γιατί ΔΕΝ παίρνουν π.χ. τη μέγιστη τιμή τους για την ίδια τιμή του

.

$\displaystyle{K = \eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\eta \mu x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sigma \upsilon \nu x} \right) = \sqrt 2 \left( {\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4} + \eta \mu \frac{\pi }{4}\sigma \upsilon \nu x} \right) = \sqrt 2 \cdot \eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)}$

Είναι $\displaystyle{ - 1 \le \eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) \le 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) \le \sqrt 2 }$

Παίρνει τη μέγιστη τιμή για $\displaystyle{x = \frac{\pi }{4}}$ και την ελάχιστη για $\displaystyle{x = \frac{{5\pi }}{4}}$

Άλλη αντιμετώπιση στη σελίδα 109 του "νέου" (ως προϊόν συρραφής) βιβλίου Άλγεβρας Β΄ Λυκείου.

: 24-4-2013 Άλγεβρα.jpg (52.94 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές

kostas_zervos · #4

1η λύση
Μία <<εκτός ύλης>>.
$|\sin\theta+\cos\theta|=\sqrt{(\sin\theta+\cos\theta)^2}=\sqrt{1+2\sin\theta\cos\theta}=$
$=\sqrt{1+\sin2\theta}\leq\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ και η ισότητα ισχύει όταν $\sin 2\theta=1$ , δηλαδή όταν $\displaystyle \theta=2\kappa\pi+\frac{\pi}{4}$ ή $\displaystyle \theta=2\kappa\pi+\frac{5\pi}{4}$ , $\kappa\in Z$ , άρα

$|\sin\theta+\cos\theta|\leq\sqrt{2}\Leftrightarrow-\sqrt{2}\leq \sin\theta+\cos\theta\leq \sqrt{2}$ .
Επομένως η μέγιστη τιμή της $A=\sin\theta+\cos\theta$ είναι $\sqrt{2}$ όταν $\displaystyle \theta=2\kappa\pi+\frac{\pi}{4}$ , $\kappa\in Z$ και η ελάχιστη τιμή της είναι $-\sqrt{2}$ όταν $\displaystyle \theta=2\kappa\pi+\frac{5\pi}{4}$ , $\kappa\in Z$ .
2η λύση

: ask17.png (4.65 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές

Θεωρούμε την ευθεία $\varepsilon:x\cdot\sin\theta+y\cdot\cos\theta=0$ .

Αν A(1,1)

τότε $\displaystyle d(A,\varepsilon)=\frac{|\sin\theta+\cos\teha|}{\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}}=|\sin\theta+\cos\teha|$ .

Αλλά $d(A,\varepsilon)\leq OA=\sqrt{2}$ και η ισότητα ισχύει όταν η $(\varepsilon)$ συμπίπτει με την y=-x

(δηλαδή $\sin\theta=\cos\theta$ ) , άρα

$|\sin\theta+\cos\theta|\leq\sqrt{2}\Leftrightarrow-\sqrt{2}\leq \sin\theta+\cos\theta\leq \sqrt{2}$ .
Επομένως η μέγιστη τιμή της $A=\sin\theta+\cos\theta$ είναι $\sqrt{2}$ όταν $\sin\theta=\cos\theta>0$ δηλαδη $\displaystyle \theta=2\kappa\pi+\frac{\pi}{4}$ , $\kappa\in Z$ και η ελάχιστη τιμή της είναι $-\sqrt{2}$ όταν $\sin\theta=\cos\theta<0$ δηλαδη $\displaystyle \theta=2\kappa\pi+\frac{5\pi}{4}$ , $\kappa\in Z$ .
3η λύση
Αν $\vec{a}=(\sin\theta,\cos\theta)$ και $\vec{b}=(1,1)$ , τότε $\displaystyle \cos\left(\vec{a}\hat{,}\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sqrt{2}}$ .

Αλλά $-1\leq \cos\left(\vec{a}\hat{,}\vec{b}\right)\leq 1 \Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq \sin\theta+\cos\theta\leq \sqrt{2}$ και οι ισότητες ισχύουν όταν τα $\vec{a},\vec{b}$ είναι ομόρροπα και αντίρροπα αντίστοιχα, δηλαδή όταν $\sin\theta=\cos\theta<0$ και όταν $\sin\theta=\cos\theta>0$ αντίστοιχα.
Επομένως η μέγιστη τιμή της $A=\sin\theta+\cos\theta$ είναι $\sqrt{2}$ όταν $\sin\theta=\cos\theta>0$ δηλαδη $\displaystyle \theta=2\kappa\pi+\frac{\pi}{4}$ , $\kappa\in Z$ και η ελάχιστη τιμή της είναι $-\sqrt{2}$ όταν $\sin\theta=\cos\theta<0$ δηλαδη $\displaystyle \theta=2\kappa\pi+\frac{5\pi}{4}$ , $\kappa\in Z$ .

KARKAR · #5

Η απλούστερη , αλλά εντελώς εκτός ύλης απάντηση , είναι με χρήση του εσωτερικού γινομένου

των διανυσμάτων $\vec{a}=(1,1)$ και $\vec{v}=(sinx,cosx)$ . Προκύπτει :

$(1,1)(sinx,cosx)=sinx+cosx\leq \sqrt{1^2+1^2}\cdot \sqrt{sin^2x+cos^2x}=\sqrt{2}$

Τριγωνομετρική

Τριγωνομετρική

Re: Τριγωνομετρική

Re: Τριγωνομετρική

Re: Τριγωνομετρική

Re: Τριγωνομετρική

Μέλη σε σύνδεση