Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο(3)

#1

Έστω οτι το πολυώνυμο $\displaystyle{\displaystyle f(x) = x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta }$ έχει ακέραιους συντελεστές και οτι ο (ακέραιος ) αριθμός (βδ+γδ) είναι περιττός. Να δείξετε ότι το f(x) δεν αναλύεται σε γινόμενο δύο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και με βαθμούς $\displaystyle{\displaystyle \geqslant 1 }$ .
Μια άσκηση του Αντώνη Κυριακόπουλου.

#2

chris_gatos έγραψε:Έστω οτι το πολυώνυμο $\displaystyle{\displaystyle f(x) = x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta }$ έχει ακέραιους συντελεστές και οτι ο (ακέραιος ) αριθμός (βδ+γδ) είναι περιττός. Να δείξετε ότι το f(x) δεν αναλύεται σε γινόμενο δύο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και με βαθμούς $\displaystyle{\displaystyle \geqslant 1 }$ .
Μια άσκηση του Αντώνη Κυριακόπουλου.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι το f(x)

δεν έχει ρίζα και πιο συγκεκριμένα ακέραια ρίζα.
Δουλεύουμε mod2

. Αφού ο αριθμός $\beta\delta + \gamma\delta$ είναι περιττός άρα κάθε ένας από τους αριθμούς $\beta+\gamma$ και $\delta$ είναι περιττός.

Άρα $\beta+\gamma\equiv 1\pmod{2}$ δηλαδή $\beta\equiv 1-\gamma\pmod{2}$ και $\delta\equiv 1 \pmod{2}$

Άρα λοιπόν $f(x)\equiv x^3+(1-\gamma)x^2+\gamma x +1 \pmod{2}$

Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις

Αν

άρτιος τότε $x\equiv 0 \pmod{2}$ άρα $f(x)\equiv 1 \not\equiv 0 \pmod{2}$ ενώ αν

περιττός τότε $x\equiv 1 \pmod{2}$ άρα $f(x)\equiv 1+(1-\gamma)+\gamma+1\equiv 1 \not\equiv 0\pmod{2}$ .

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν το f(x)

δεν έχει ακέραια ρίζα.

#3

Αρχίζω και εγώ όπως ο φίλος μου ο Αλέξανδρος...

Αρκεί να αποδείξουμε ότι το f(x) δεν έχει ρίζα και πιο συγκεκριμένα ακέραια ρίζα.
Αφού ο αριθμός $\beta\delta + \gamma\delta$ είναι περιττός άρα κάθε ένας από τους αριθμούς $\beta+\gamma$ και $\delta$ είναι περιττός.

Υποθέτω ότι το πολυώνυμο έχει ακέραια ρίζα $\rho$ .Τότε:

$f(x)=(x-\rho)\pi(x),$ με $\pi(x)\in Z[x].$

Έχουμε,

$f(0)=-\rho\pi(0)$ και $f(0)=\delta$ περιττός, άρα $\rho$ περιττός,

$f(1)=(1-\rho)\pi(1)$ και $f(1)=1+\beta+\gamma+\delta$ περιττός, άρα $1-\rho$ περιττός.

Αφού $\rho, 1-\rho$ περιττοί θα έπρεπε το άθροισμα τους να ήταν άρτιος, το οποίο είναι άτοπο.

Άρα, το πολυώνυμο f(x)

δεν έχει ακέραια ρίζα.

Καληνύχτα,

Νικόλαος Κατσίπης

#4

Την ευκή μου να' χετε παλικάρια μου..

Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο(3)

Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο(3)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο(3)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο(3)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο(3)

Μέλη σε σύνδεση