Τριγωνομετρικές Εξισώσεις - Περιορισμοί

Sifis · #1

Ένα θέμα που με έχει απασχολήσει αυτές τις μέρες είναι κάτι που δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, αλλά και πολλά βοηθήματα το "αποφευγούν".
Για παράδειγμα η εξίσωση εφ 3x=

εφ $\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ έχει περιορισμούς:
$x\neq \frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}, k\epsilon Z$ και
$x\neq k\pi +\frac{2\pi }{3}, k\epsilon Z$ .
Αν λύσουμε την παραπάνω εξίσωση παίρνουμε ως λύσεις τις: $x=\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{12}, k\epsilon Z$ .
Ο προβληματισμός μου έχει να κάνει με το πως εξετάζουμε αν οι λύσεις μας ικανοποιούν τους περιορισμούς. Σε κάποια βοηθήματα απλά αναφέρεται στο τέλος της άσκησης αν είναι δεκτές ή όχι, χωρίς να εξηγεί γιατί, ενώ σε άλλα χρησιμοποιείται μέχρι και θεωρία αριθμών. Τελικά υπάρχει κάποιος ενδεδειγμένος τρόπος με τον οποίο να μπορεί κάποιος μαθητής της Β λυκείου να δει αν οι λύσεις του ικανοποιούν τους περιορισμούς?

hsiodos · #2

Sifis έγραψε:Ένα θέμα που με έχει απασχολήσει αυτές τις μέρες είναι κάτι που δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, αλλά και πολλά βοηθήματα το "αποφευγούν".
Για παράδειγμα η εξίσωση εφεφ $\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ έχει περιορισμούς:
$x\neq \frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}, k\epsilon Z$ και
$x\neq k\pi +\frac{2\pi }{3}, k\epsilon Z$ .
Αν λύσουμε την παραπάνω εξίσωση παίρνουμε ως λύσεις τις: $x=\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{12}, k\epsilon Z$ .
Ο προβληματισμός μου έχει να κάνει με το πως εξετάζουμε αν οι λύσεις μας ικανοποιούν τους περιορισμούς. Σε κάποια βοηθήματα απλά αναφέρεται στο τέλος της άσκησης αν είναι δεκτές ή όχι, χωρίς να εξηγεί γιατί, ενώ σε άλλα χρησιμοποιείται μέχρι και θεωρία αριθμών. Τελικά υπάρχει κάποιος ενδεδειγμένος τρόπος με τον οποίο να μπορεί κάποιος μαθητής της Β λυκείου να δει αν οι λύσεις του ικανοποιούν τους περιορισμούς?

Σήφη

Έστω ότι έχουμε τον περιορισμό $\displaystyle{ x \ne \frac{{\lambda \pi }}{3} + \frac{\pi }{6}\,\,\,,\,\,\,\lambda \in {\rm Z}\,}$ και έχουμε βρει $\displaystyle{ x = \frac{{\kappa \pi }}{2} - \frac{\pi }{{12}}\,\,\,,\kappa \in {\rm Z}}$

Εξετάζουμε αν υπάρχουν ακέραιοι κ , λ ώστε: $\displaystyle{ \frac{{\kappa \pi }}{2} - \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\lambda \pi }}{3} + \frac{\pi }{6} \Rightarrow \frac{\kappa }{2} - \frac{1}{{12}} = \frac{\lambda }{3} + \frac{1}{6} \Rightarrow 3\kappa - \frac{1}{2} = 2\lambda + 1 \Rightarrow 3\kappa - 2\lambda = \frac{3}{2}}$

αδύνατο (α μέλος ακέραιος ), οπότε οι λύσεις είναι δεκτές.

Σε άλλες περιπτώσεις (δύσκολες γενικά για τους μαθητές) κάποιες (η και όλες) από τις λύσεις μπορεί να μην γίνουν δεκτές.

Αυτά όμως είναι "ψιλά γράμματα" αφού με την νέα ύλη , τελειώνοντας ένας μαθητής την Β Λυκείου το πολύ να έχει μάθει να λύνει τρ. εξισώσεις.
Στην πλειοψηφία η πρώτη παράγραφος γίνεται γρήγορα και στο τέλος βγαίνει εκτός ύλης.

Γιώργος

Τριγωνομετρικές Εξισώσεις - Περιορισμοί

Τριγωνομετρικές Εξισώσεις - Περιορισμοί

Re: Τριγωνομετρικές Εξισώσεις - Περιορισμοί

Μέλη σε σύνδεση