Αριθμητική Πρόοδος από Πανάκη

[kostas136]

Γειά σας σε όλους και Χρόνια Πολλά. Σας γράφω μια ωραία άσκηση που βρήκα διαβάζοντας το βιβλίο "Αλγεβρικός Λογισμός" του Πανάκη.

Να βρείτε τρείς φυσικούς αριθμούς που αποτελούν αριθμητική πρόοδο αν ισχύει ότι το γινόμενό τους ισούται με το τετράγωνο του αθροίσματός τους.

[Γιώργος Ρίζος]

Αγαπητέ Κώστα,
προφανώς λέγοντας "αποτελούν αριθμητική πρόοδο", ο συγγραφέας εννοεί ότι οι φυσικοί αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.

Μία λύση είναι: 6, 12, 18.

Μόλις έχω λίγο χρόνο θα γράψω την απόδειξη, αν δεν έχει προλάβει άλλος.
Ξεκίνα με α, ω φυσικούς, α > ω και α-ω, α, α+ω τους τρεις διαδοχικούς.

Γιώργος Ρίζος

Καλό ΠΑΣΧΑ σε όλους!

[fmak65]

(α-ω)α(α+ω) = (α-ω+α+α+ω)^2 <=> (α^2 -ω^2)α =9α^2 <=> α^3 - αω^2 - 9α^2 = 0 <=> 1) α=0 απορριπτετε ή 2) α^2 - 9α - ω^2 = 0 <=> Δ=81 + 4ω^2 που η ριζα του πρεπει να ειναι ακεραιος. δηλ. 81 + 4ω^2 = χ^2 <=> ω = +-ριζα του (χ^2 - 81)/4. Αρα ο χ ειναι περιτος > 9 και ο 2ω ο χ και το 9 ειναι πυθαγοριες τριαδες, για χ=15 ω=ριζα(225-81)/4=ριζα36=6 και α=(9+15)/2 =12. για χ=41 ω=20 και α=25 .
οποτε οι δυο τριαδες που βρηκα ειναι 6-12-18(Ριζος) και 5-25-45.
δεν βρηκα καλυτερο τυπο για να τις βρισκω. δεν βρηκα και τι γινετε στην γενικη περιπτωση δηλ οι τρεις οροι να ειναι α , α+λω , α+κω.

[gbaloglou]

(α-ω)α(α+ω) = (α-ω+α+α+ω)^2 <=> (α^2 -ω^2)α =9α^2 <=> α^3 - αω^2 - 9α^2 = 0 <=> 1) α=0 απορριπτετε ή 2) α^2 - 9α - ω^2 = 0 <=> Δ=81 + 4ω^2 που η ριζα του πρεπει να ειναι ακεραιος. δηλ. 81 + 4ω^2 = χ^2 <=> ω = +-ριζα του (χ^2 - 81)/4. Αρα ο χ ειναι περιτος > 9 και ο 2ω ο χ και το 9 ειναι πυθαγοριες τριαδες, για χ=15 ω=ριζα(225-81)/4=ριζα36=6 και α=(9+15)/2 =12. για χ=41 ω=20 και α=25 .
οποτε οι δυο τριαδες που βρηκα ειναι 6-12-18(Ριζος) και 5-25-45.
δεν βρηκα καλυτερο τυπο για να τις βρισκω. δεν βρηκα και τι γινετε στην γενικη περιπτωση δηλ οι τρεις οροι να ειναι α , α+λω , α+κω.

Αυτες ειναι και οι μονες λυσεις. Οπως διεπιστωσες, η (9, 2ω, χ) ειναι Πυθαγορεια τριαδα, επομενως υπαρχουν θετικοι ακεραιοι λ, μ, ν τετοιοι ωστε 9 = λ*[(μ^2) - (ν^2)], 2ω = λ*(2μν), χ = λ*[(μ^2) + (ν^2)]. Επειδη λοιπον ο λ διαιρει τον 9, εχουμε ειτε λ = 1 ειτε λ = 3 ειτε λ = 9. Στην πρωτη περιπτωση, λ = 1, εχουμε μ^2 - ν^2 = 9, επομενως (μ+ν)*(μ-ν) = 9 και μ+ν = 9, μ-ν = 1, δηλαδη μ = 5, ν = 4: αυτο μας οδηγει στην λυση ω = 20, χ = 41 (5, 25, 45). Στην δευτερη περιπτωση, λ = 3, εχουμε μ^2 - ν^2 = 3, επομενως (μ+ν)*(μ-ν) = 3 και μ+ν = 3, μ-ν = 1, δηλαδη μ = 2, ν = 1: αυτο μας οδηγει στην λυση ω = 6, χ = 15 (6, 12, 18). Η τριτη περιπτωση, λ = 9, οδηγει στην μ^2 - ν^2 = 1 και μ+ν = μ-ν = 1, δηλαδη μ = 1, ν = 0, επομενως αποκλειεται. (Για τον ιδιο λογο αποκλειεται η μ+ν = μ-ν = 3 στην περιπτωση λ = 1.)

Γιωργος Μπαλογλου

[kostas136]

Αυτές είναι οι λύσεις και ζητώ συγνώμη που από ταχύτητα ξέχασα να γράψω διαδοχικοί όροι και όχι απλώς όροι αριθμητικής προόδου. Το βιβλίο αυτό έχει πολύ ωραίες ασκήσεις, αν τύχει και το βρείτε κάπου μην χάσετε την ευκαιρία να το αγοράσετε. Να είστε όλοι καλά.

[Demetres]

Πως ορίζει το σχολικό βιβλίο την αριθμητική πρόοδο; Διότι ίσως και το 9,9,9 να θεωρείται λύση.