Εμβαδόν γραμμοσκιασμένης επιφάνειας

Συντονιστής: exdx

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Εμβαδόν γραμμοσκιασμένης επιφάνειας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από pana1333 » Πέμ Νοέμ 11, 2010 2:26 am

Κάθε πλευρά τετραγώνου αυξάνει κατά ένα. Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας όταν τα τετράγωνα είναι 100.

(Δικιάς μου κατασκευής δεν ξέρω αν υπάρχει ήδη)
Συνημμένα
math.JPG
παράδειγμα για 6 τετράγωνα
math.JPG (4.73 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν γραμμοσκιασμένης επιφάνειας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Νοέμ 11, 2010 9:24 am

Ενδιαφέρον ...

Έστω a η πλευρά του εξωτερικού τετραγώνου με a>99.
Τότε μετρώντας από έξω προς τα μέσα, έχουμε ότι:
* το 1ο τετράγωνο έχει πλευρά a και εμβαδό a^2,
* το 2ο τετράγωνο έχει πλευρά a-1 και εμβαδό (a-1)^2,
* το 3ο τετράγωνο έχει πλευρά a-2 και εμβαδό (a-2)^2,
...
* το 100ο τετράγωνο έχει πλευρά a-99 και εμβαδό (a-99)^2.

Επομένως μετρώντας από έξω προς τα μέσα, έχουμε ότι:
* το πρώτο "μαύρο σχήμα" έχει εμβαδό a^2-(a-1)^2=2a-1,
* το δεύτερο "μαύρο σχήμα" έχει εμβαδό (a-2)^2-(a-3)^2=2a-5,
* το τρίτο "μαύρο σχήμα" έχει εμβαδό (a-4)^2-(a-5)^2=2a-9,
...
* το πεντηκοστό "μαύρο σχήμα" έχει εμβαδό (a-98)^2-(a-99)^2=2a-197,
...
* το νιοστό "μαύρο σχήμα" έχει εμβαδό (a-(2v-2))^2-(a-(2v-1))^2=2a-4v+3.

Έστω \gamma_v=2a-4v+3,\ v \in \mathbb{N}^*,
οπότε
\gamma_{v+1}-\gamma{v}=2a-4(v+1)+3-(2a-4v+3)=-4,
το οποίο είναι σταθερό, άρα η \gamma_v είναι αριθμητική πρόοδος.

Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδό είναι το άθροισμα των 50 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου \gamma_v,\ n \in \mathbb{N}^*,
με \gamma_1=2a-1, \omega=-4, οπότε:
\displaystyle{S_{50}=\frac{2\gamma_1+(50-1)\omega}{2}\cdot 50 =\frac{2(2a-1)+49 \cdot (-4)}{2}\cdot 50 =50(2a-99)}


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9340
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εμβαδόν γραμμοσκιασμένης επιφάνειας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 11, 2010 1:39 pm

pana1333 έγραψε:Δικιάς μου κατασκευής δεν ξέρω αν υπάρχει ήδη


Ναι, στον προηγούμενο διαγωνισμό Καγκουρό υπάρχει ουσιαστικά το ίδιο πρόβλημα, του υπολογισμού
του σκιασμένου εμβαδού στο παρακάτω σχήμα. (Το πλήθος των σκιασμένων, άλλαζε από τάξη σε τάξη: μικρή
τάξη, λίγα τα σκιασμένα. Μεγάλη, περισσότερα).

Η λύση που έδωσα στο αντίστοιχο βιβλίο λύσεων ήταν με το να φέρουμε τις κόκκινες γραμμές, και μετράμε
α) τα μικρά τρίγωνάκια (όπως αυτό της κορυφής), το οποία είναι ίσα, και
β) τα παραλληλογραμμάκια (που το καθένα έχει εμβαδόν όσο το διπλάσιο κάθε μικρού τριγώνου).

Φιλικά,

Μιχάλης
Συνημμένα
mavroaspro.JPG
mavroaspro.JPG (23.05 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν γραμμοσκιασμένης επιφάνειας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από pana1333 » Πέμ Νοέμ 11, 2010 2:37 pm

Καλημέρα Μιχάλη δεν το είχα υπόψην μου . Ευχαριστώ. Τουλάχιστον διαφέρουμε στην λύση :D .

Λευτέρη ευχαριστώ για την λύση σου. Έτσι την είχα ξεκινήσει και εγώ απο έξω προς τα μέσα αλλά την άλλαξα και νομίζω ότι θα ήταν φανερό λέγοντας ότι η πλευρά τετραγώνου αυξάνει κατά 1 πρέπει να πάμε απο μέσα προς τα έξω. Τέλος πάντων η ίδια λύση είναι πάλι 50 όροι απλά κάθε γραμμοσκιασμένο έχει εμβαδόν \left(\alpha +1 \right)^{2}-\alpha ^{2}=2\alpha  +1 κ.ο.κ


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1907
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Εμβαδόν γραμμοσκιασμένης επιφάνειας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από vittasko » Πέμ Νοέμ 11, 2010 2:55 pm

Με σκεπτικό παρόμοιο όπως του Μιχάλη πιο πάνω ( υπολογίζοντας το S_{5}, δηλαδή όταν τα τετράγωνα είναι 10 ), βρίσκω S_{50} = 50(100 + 1)a^{2} (1), όπου a = 1 είναι η πλευρά του αρχικού τετραγώνου.

Θα το ξανακοιτάξω μήπως κάτι έχει ξεφύγει ( η επιφάνεια που δίνει ο τύπος, είναι το ισοδύναμο της επιφάνειας 20.200 τετραγώνων πλευράς a/2 = 0,5 που ορίζουν την γραμμοσκιασμένη επιφάνεια ).

Σε κάθε τεταρτημόριο του σχήματος ( αναφερόμαστε στα 10 τετράγωνα ), έχουμε 10 : 2 = 5 γωνιακά τετράγωνα και εκατέρωθεν αυτών το ίδιο πλήθος τετραγώνων πλευράς a/2 , που είναι ίσο με (5\cdot 10) : 2 = 25

Δηλαδή έχουμε συνολικά S_{5} = 4\cdot (5\cdot 10 + 5)\cdot \left (\displaystyle\frac{a}{2}\right )^{2} = (5\cdot 10 + 5)a^{2} = 5(10 +1)a^{2} τετράγωνα πλευράς a = 1.

Ο γενικός τύπος ( για n τετράγωνα ) είναι S_{n/2} = \displaystyle\frac{n(n + 1)a^{2}}{2}.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Διόρθωσα τη ισότητα (1) και ελπίζω αυτή και ο γενικός τύπος να είναι σωστά. :ewpu:
Συνημμένα
f=21_t=10621.pdf
Εμβαδόν γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.
(3.7 KiB) Μεταφορτώθηκε 61 φορές



Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης