Συνδυαστική επαναληπτική 2

#1

Δίνεται η γνησίως μονότονη γεωμετρική πρόοδος $a_{\nu}$ με $a_1=\sigma \upsilon \nu x,\ a_2=\sqrt{2}\eta\mu x,\ a_3=\varepsilon \varphi x,\ x \in (2\pi,3\pi)$ και λόγο $\lambda$ .
Έστω επίσης το πολυώνυμο P(x)

για το οποίο η διαίρεση με το (x-2)

δίνει υπόλοιπο 4, ενώ η αριθμητική τιμή για x=-1

είναι 1.

α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{x=\frac{13\pi}{6}, \lambda=\frac{\sqrt{6}}{3}}$ .

β) Να λυθεί η εξίσωση $a_2log^4u=a_{10}$ .

γ) Αν u_1,u_2

είναι οι ρίζες της εξίσωσης του (β) ερωτήματος, να δείξετε ότι: $log_{u_1}u_2+log_{u_2}u_1=-2$ .

δ) Αν u_1,u_2

είναι οι ρίζες της εξίσωσης του (β) ερωτήματος, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης $P(x) : (x+2log_{u_1}u_2)(x-log_{u_2}u_1)$ .

Eukleidis · #2

α) $\displaystyle{{a_2}^2 = {a_1}{a_3} \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x = \sin x \Leftrightarrow \sin x = 0 \vee \sin x = \frac{1}{2}}$

Αρα χ=κπ(απορ στο δοσμένο διάστημα) ή χ=2κπ+π/6 οπότε λαμβάνοντας τις λύσεις στο δοσμένο διάστημα παίρνουμε κ=1

Αρα $\displaystyle{x = \frac{{13\pi }}{6}}$ αφου για χ=17π/6 δεν μπορεί να είναι γνησιως μονοτονη.

$\displaystyle{\lambda = \frac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}} = \sqrt 2 \tan \frac{{13\pi }}{6} = \sqrt 2 \tan \left( {2\pi + \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 2 \tan \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}}$

β) $\displaystyle{{a_n} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)^{n - 1}}}$
u>0
Αρα η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\frac{{\sqrt 6 }}{3}{\log ^4}u = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)^9} \Leftrightarrow {\log ^4}u = {\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)^8} \Leftrightarrow \log u = \pm \frac{2}{3} \Leftrightarrow u = {10^{\frac{2}{3}}} \vee u = {10^{ - \frac{2}{3}}}}$

γ) $\displaystyle{{u_1} = {10^{\frac{2}{3}}}}$ και $\displaystyle{{u_2} = {10^{ - \frac{2}{3}}}}$
Επομένως $\displaystyle{{\log _{{u_1}}}{u_2} + {\log _{{u_2}}}{u_1} = {\log _{{{10}^{\frac{2}{3}}}}}{\left( {{{10}^{\frac{2}{3}}}} \right)^{ - 1}} + {\log _{{{10}^{ - \frac{2}{3}}}}}{\left( {{{10}^{ - \frac{2}{3}}}} \right)^{ - 1}} = - 2}$

δ)Ουσιαστικά ζητάμε το υπολοιπο της διαιρεσης του P(x) με το (χ-2)(χ+1) και επειδή ο διαιρέτης είναι δευτερου βαθμού το υπόλοιπο θα είναι 1ου βαθμού ή το μηδενικό
Αρα $\displaystyle{P\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)r\left( x \right) + ax + b}$

Για χ=2 $\displaystyle{4 = 2a + b}$
Για χ=-1 $\displaystyle{b - a = 1}$
Λύνοντας το συστημα παίρνουμε ότι $\displaystyle{a =1 \wedge b = 2$
Επομένως $\displaystyle{u\left( x \right) = x + 2}$
Με κάθε επιφύλαξη

#3

Συνδυαστική επαναληπτική 2

Συνδυαστική επαναληπτική 2

Re: Συνδυαστική επαναληπτική 2

Re: Συνδυαστική επαναληπτική 2

Μέλη σε σύνδεση