Σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων

Ανδρέας Πούλος · #1

Να λυθεί στο σύνολο R το σύστημα των παρακάτω εξισώσεων:

$x^{2} + y^{2} = 5$

$x^{3} + y^{3} = 9$

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

nonlinear · #2

Ξαναγράφοντας το σύστημα των εξισώσεων ως εξής :

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy = 5}\\ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 9} \end{array}} \right.}$

Λύνοντας την πρώτη ως προς 2xy και αντικαθιστώντας στην δεύτερη αφού την έχουμε πολλαπλασιάσει με 2 καταλήγουμε στην :

$\displaystyle{{\left( {x + y} \right)^3} - 15\left( {x + y} \right) + 18 = 0}$

Θέτοντας u=x+y παίρνω την $\displaystyle{{u^3} - 15u + 18 = 0}$ η οποία παραγοντοποιειται σαν

$\displaystyle{\left( {u - 3} \right) \cdot \left( {{u^2} + 3u - 6} \right) = 0}$

με ριζες $\displaystyle{u = 3,\frac{1}{2} \cdot \left( { - 3 - \sqrt {33} } \right),\frac{1}{2} \cdot \left( {\sqrt {33} - 3} \right)}$ .

Γνωρίζοντας την τιμη u=x+y αντικαθιστούμε στην πρωτη εξίσωση και βρίσκουμε τις τιμές των (x,y).

(Ίσως και να υπάρχει κάτι λιγότερο χειρωνακτικό από το παραπάνω)

#3

nonlinear έγραψε:Ξαναγράφοντας το σύστημα των εξισώσεων ως εξής :

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy = 5}\\ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 9} \end{array}} \right.}$

Λύνοντας την πρώτη ως προς 2xy και αντικαθιστώντας στην δεύτερη αφού την έχουμε πολλαπλασιάσει με 2 καταλήγουμε στην :

$\displaystyle{{\left( {x + y} \right)^3} - 15\left( {x + y} \right) + 18 = 0}$

Θέτοντας u=x+y παίρνω την $\displaystyle{{u^3} - 15u + 18 = 0}$ η οποία παραγοντοποιειται σαν

$\displaystyle{\left( {u - 3} \right) \cdot \left( {{u^2} + 3u - 6} \right) = 0}$

με ριζες $\displaystyle{u = 3,\frac{1}{2} \cdot \left( { - 3 - \sqrt {33} } \right),\frac{1}{2} \cdot \left( {\sqrt {33} - 3} \right)}$ .

Γνωρίζοντας την τιμη u=x+y αντικαθιστούμε στην πρωτη εξίσωση και βρίσκουμε τις τιμές των (x,y).

(Ίσως και να υπάρχει κάτι λιγότερο χειρωνακτικό από το παραπάνω)

Τελειώνοντας το: η πρώτη τιμή οδηγεί στην 'αναμενόμενη' λύση (1 και 2), η δεύτερη σε μη λύση, η τρίτη στην ~2,1105 και ~-0,7385.

Δεν βλέπω ευκολότερο τρόπο επίλυσης.

Γιώργος Μπαλόγλου

Ανδρέας Πούλος · #4

Τα ζεύγη των λύσεων (x, y) είναι τα (1, 2) (2, 1) (-α, β) (β, -α),
όπου α περίπου 2,11 και β περίπου 0,75.

Οι αριθμοί α, β υπολογίζονται όπως έδειξε ο nonlinear με τη βοήθεια ριζικών,
αφού έχουν προηγηθεί επιτυχείς αλγεβρικοί μετασχηματισμοί και πράξεις.
Μάλλον, τοι πρόβλημα πρέπει να μεταφερθεί στην ενότητα "μαθηματικοί διαγωνισμοί".
Φωτεινή, μπορεί να γίνει αυτό;

Ο Γιώργος Μπαλόγλου έθεσε ένα γενικότερο πρόβλημα,
αν θέσουμε όπου 4 το κ και 9 το λ,
θα βρούμε τις τιμές των κ, λ ώστε το δεδομένο σύστημα να έχει λύση.
Τώρα, σίγουρα πρόκειται για πρόβλημα μαθηματικών διαγωνισμών
και μάλιστα με αρκετή δουλειά.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#5

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Ο Γιώργος Μπαλόγλου έθεσε ένα γενικότερο πρόβλημα,
αν θέσουμε όπου 5 το κ και 9 το λ,
θα βρούμε τις τιμές των κ, λ ώστε το δεδομένο σύστημα να έχει λύση.
Τώρα, σίγουρα πρόκειται για πρόβλημα μαθηματικών διαγωνισμών
και μάλιστα με αρκετή δουλειά.

Χωρίς πολύ δουλειά κατ' αρχήν, και βασιζόμενος σε γραφήματα και ύπαρξη κοινής εφαπτόμενης των δυο καμπύλων, προβλέπω ότι η συνθήκη είναι η $\kappa^{9}\geq64\lambda^{4}$

Ίσως επανέλθω,

Γιώργος Μπαλόγλου

#6

gbaloglou έγραψε:
Ανδρέας Πούλος έγραψε: Ο Γιώργος Μπαλόγλου έθεσε ένα γενικότερο πρόβλημα,
αν θέσουμε όπου 5 το κ και 9 το λ,
θα βρούμε τις τιμές των κ, λ ώστε το δεδομένο σύστημα να έχει λύση.
Τώρα, σίγουρα πρόκειται για πρόβλημα μαθηματικών διαγωνισμών
και μάλιστα με αρκετή δουλειά.
Χωρίς πολύ δουλειά κατ' αρχήν, και βασιζόμενος σε γραφήματα και ύπαρξη κοινής εφαπτόμενης των δυο καμπύλων, προβλέπω ότι η συνθήκη είναι η $\kappa^{9}\geq64\lambda^{4}$

Διορθώνω και επεκτείνω:

Στο συνημμένο απεικονίζεται η $x^{3}+y^{3}=\lambda$ (για $\lambda=9$ ) μαζί με δυο κύκλους που απομυθοποιούν το πρόβλημα πλήρως

-- Ο μικρότερος κύκλος εφάπτεται της $x^{3}+y^{3}=\lambda$ στα σημεία $(0,\,\,\sqrt[3]{\lambda})$ και $(\sqrt[3]{\lambda},\,\,0)$ , όπου αυτή έχει οριζόντια και κάθετη εφαπτόμενη, αντίστοιχα, άρα η ακτίνα του ισούται προς $R_{1}=\sqrt[3]{\lambda}$ (αντίστοιχα $\kappa=\sqrt[3]{\lambda^{2}}$ ).

-- Ο μεγαλύτερος κύκλος εφάπτεται της $x^{3}+y^{3}=\lambda$ στο σημείο $(\sqrt[3]{\frac{\lambda}{2}},\,\,\sqrt[3]{\frac{\lambda}{2}})$ , άρα η ακτίνα του ισούται προς $R_{2}=\sqrt[6]{2\lambda^{2}}$ (αντίστοιχα $\kappa=\sqrt[3]{2\lambda^{2}}$ ). [Ο κύκλος αυτός τέμνει την $x^{3}+y^{3}=\lambda$ σε δυο πρόσθετα σημεία.]

Είναι φανερό από το σχήμα ότι κύκλοι με ακτίνα μεγαλύτερη της $R_{2}$ τέμνουν την $x^{3}+y^{3}=\lambda$ σε δυο ακριβώς σημεία, ενώ κύκλοι με ακτίνα μικρότερη της $R_{1}$ δεν την τέμνουν καθόλου. Επίσης κύκλοι με ακτίνα αυστηρά μεταξύ των $R_{1}$ και $R_{2}$ τέμνουν την $x^{3}+y^{3}=\lambda$ σε τέσσερα ακριβώς σημεία.

Συμπεραίνουμε ότι το γενικευμένο σύστημα του Ανδρέα έχει:

-- δυο λύσεις για $\kappa>\sqrt[3]{2\lambda^{2}}$

-- τρεις λύσεις για $\kappa=\sqrt[3]{2\lambda^{2}}$

-- τέσσερις λύσεις για $\sqrt[3]{\lambda^{2}}<\kappa<\sqrt[3]{2\lambda^{2}}$

-- δυο λύσεις για $\kappa=\sqrt[3]{\lambda^{2}}$

-- καμμία λύση για $\kappa<\sqrt[3]{\lambda^{2}}$

[Στο συγκεκριμένο/αρχικό πρόβλημα ( $\lambda=9$ ) τα κρίσιμα $\kappa$ είναι, περίπου, τα 4,32674

και

-- εξαιρετική λοιπόν η επιλογή του Ανδρέα ( $\kappa=5$ ), καθώς οδηγεί στον μέγιστο δυνατό αριθμό λύσεων!]

Γιώργος Μπαλόγλου

Σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων

Σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων

Re: Σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων

Re: Σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων

Re: Σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων

Re: Σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων

Re: Σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων

Μέλη σε σύνδεση