4η ρίζα

A.Spyridakis · #1

Ποια είναι η 4η ρίζα του $\colorbox{green}{\boxed{{\color{red}97-56 \sqrt{3} }}}}}$ ?

chris · #2

Έχουμε:

$\displaystyle 97-56 \sqrt{3}=48+49-2\cdot 7\cdot 4\sqrt{3}=\left(4\sqrt{3} \right)^2+7^2-2\cdot 7\cdot 4\sqrt{3}=\left(4\sqrt{3}-7 \right)^2=\left[2^2+\left(\sqrt{3} \right)^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{3} \right]^2=\left(2-\sqrt{3} \right)^4\Rightarrow \sqrt[4]{97-56 \sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

#3

A.Spyridakis έγραψε:Ποια είναι η 4η ρίζα του $\colorbox{green}{\boxed{{\color{red}97-56 \sqrt{3} }}}}}$ ?

Μία πονηρή λύση

Αναζητώ ακεραίους $\displaystyle{a,b>0}$ ώστε $\displaystyle{(a-b\sqrt{3})^4=97-56\sqrt{3}}$ .

Μετά τις πράξεις, αναγόμαστε στη σχέση

$\displaystyle{(a^4+9b^4+18a^2b^2)-4ab(a^2+3b^2)\sqrt{3}=97-56\sqrt{3}.}$

Αρκεί λοιπόν να ισχύει

$\displaystyle{a^4+9b^4+18a^2b^2=97}$ (1) και $\displaystyle{4ab(a^2+3b^2)=56}$ (2)

Γράφουμε την (1) ως $\displaystyle{(a^2+3b^2)^2+12(ab)^2=97}$ και με αντικατάσταση από την (2) αναγόμαστε στην εξίσωση

$\displaystyle{12x^2-97x+196=0,}$ όπου $\displaystyle{x=(ab)^2}$ .

Η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζα το $\displaystyle{4}$ άρα μία δυνατότητα για το $\displaystyle{ab}$ είναι η τιμή $\displaystyle{2.}$

Δοκιμάζουμε $\displaystyle{a=2}$ και $\displaystyle{b=1}$ και βλέπουμε ότι δουλεύει.

#4

Ας το αντιμετωπίσουμε κα με το γνωστό τύπο:
$\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\left|\Gamma \right|}{2}}-\sqrt{\frac{A-\left|\Gamma \right|}{2}}$
όπου:
$\Gamma ^2=A^2-B$
Έτσι υπολογίζω πρώτα:
$\sqrt{97-56\sqrt{3}}=\sqrt{56-\sqrt{56^2.3}}=\sqrt{97-\sqrt{9408}}$
και επειδή:
$97^2-9408=1=\Gamma$
άρα:
$\sqrt{97-56\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{97+1}{2}}-\sqrt{\frac{97-1}{2}}=7-\sqrt{48}$
Και στη συνέχεια πάλι έχουμε:
$\sqrt{7-\sqrt{48}}=\sqrt{\frac{7+1}{2}}-\sqrt{\frac{7-1}{2}}=2-\sqrt{3}$
Άρα:
$\sqrt[4]{97-56\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

4η ρίζα

4η ρίζα

Re: 4η ρίζα

Re: 4η ρίζα

Re: 4η ρίζα

Μέλη σε σύνδεση