Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Ιστοσελίδα · #1

Να αποδειχθεί ότι το πολυώνυμο $f(x) = (x - a_0)^2 \cdot (x-a_1)^2 \cdots (x-a_n)^2 + 1$ όπου οι αριθμοί $a_0, a_1,\ldots , a_n \in \mathbb{Z}$ δεν γράφεται ως γινόμενο πολυωνύμων (μη σταθερών) με ακέραιους συντελεστές.

(Δεν έχω προλάβει να την κοιτάξω, οπότε δεν ξέρω αν σίγουρα βγαίνει με Β΄λυκείου...Διαισθάνομαι πώς ναι.)

#2

polysot έγραψε:Να αποδειχθεί ότι το πολυώνυμο $f(x) = (x - a_0)^2 \cdot (x-a_1)^2 \cdots (x-a_n)^2 + 1$ όπου οι αριθμοί $a_0, a_1,\ldots , a_n \in \mathbb{Z}$ δεν γράφεται ως γινόμενο πολυωνύμων (μη σταθερών) με ακέραιους συντελεστές.

(Δεν έχω προλάβει να την κοιτάξω, οπότε δεν ξέρω αν σίγουρα βγαίνει με Β΄λυκείου...Διαισθάνομαι πώς ναι.)

Αποδεικνύουμε ότι η απάντηση είναι αρνητική.

Έστω ότι υπάρχουν πολυώνυμα $\displaystyle{g(x),h(x)}$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{f(x)=g(x)h(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ . (1)

Τότε έχουμε

$\displaystyle{g(a_0)h(a_0)=g(a_1)h(a_1)=g(a_2)h(a_2)=...=g(a_n)h(a_n)=1}$ .

Από εδώ προκύπτει ότι $\displaystyle{g(a_0)=g(a_1)=...=g(a_n)=1}$ και $\displaystyle{h(a_0)=h(a_1)=...=h(a_n)=1}$ ή

$\displaystyle{g(a_0)=g(a_1)=...=g(a_n)=-1}$ και $\displaystyle{h(a_0)=h(a_1)=...=h(a_n)=-1}$

Πράγματι, αν υπήρχαν $\displaystyle{a_i,a_j}$ με $\displaystyle{g(a_i)=1,g(a_j)=-1}$ , από το θεώρημα Bolzano,* θα υπήρχε $\displaystyle{\xi \in (a_i,a_j)}$ με $\displaystyle{g(\xi)=0,}$ το οποίο λόγω της (1) είναι άτοπο.

Μπορούμε επομένως να υποθέσουμε ότι έχουμε

$\displaystyle{g(a_0)=g(a_1)=...=g(a_n)=1}$ και $\displaystyle{h(a_0)=h(a_1)=...=h(a_n)=1}$ , δηλαδή

$\displaystyle{g(x)=(x-a_0)(x-a_1)...(x-a_n)m(x)+1}$ και $\displaystyle{h(x)=(x-a_0)(x-a_1)...(x-a_n)k(x)+1}$ , όπου $\displaystyle{m,k}$ πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές.

Τότε, με αντικατάσταση στην (1), προκύπτει

$\displaystyle{f(x)=(x-a_0)^2(x-a_1)^2...(x-a_n)^2m(x)k(x)+(x-a_0)(x-a_1)...(x-a_n)(m(x)+k(x))+1}$ . (2)

Με σύγκριση αυτής με την αρχική, βλέπουμε ότι πρέπει να ισχύει $\displaystyle{m(x)k(x)=1}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ , δηλαδή $\displaystyle{m(x)=k(x)=1}$ ή

$\displaystyle{m(x)=k(x)=-1}$ .

Και στις δύο περιπτώσεις η (2) σε συνδυασμό με τον τύπο του πολυωνύμου $\displaystyle{f}$ μας οδηγεί σε άτοπο.

(*) Εκτός ύλης για Β' Λυκείου.

#3

Μα κάπου την έχουμε ξαναδεί λέω...
και εδώ είναι...

Νίκος

#4

Θαρρώ υπάρχει στο βιβλίο με τις Ρώσικες μαθηματικές ολυμπιάδες της Dover.

#5

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Θαρρώ υπάρχει στο βιβλίο με τις Ρώσικες μαθηματικές ολυμπιάδες της Dover.

Σωστά Αναστάση, πρόβλημα 211 σελίδα 47.

Ιστοσελίδα · #6

Μα που στο καλό τα θυμάστε όλα αυτά βρε Αναστάση, Νίκο, κλπ κλπ;;;
Πάντως Θάνο το θεώρημα Bolzano φέτος είναι ΕΝΤΟΣ ύλης !!!

#7

Τώρα ποιός να πρόλαβε ποιόν...

Οι Ρώσοι τους 'Ελληνες μαθηματικούς ή το ανάποδο;

------>Press Here!!

#8

Το βιβλίο πάντως νομίζω εκδόθηκε το 62.

#9

Kλάψ!

Πάλι μας πρόλαβαν...

Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Re: Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Re: Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Re: Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Re: Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Re: Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Re: Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Re: Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Re: Μη παραγοντοποίηση πολυωνύμου...

Μέλη σε σύνδεση