Πολυώνυμο 2

#1

Να δείξετε ότι το P(x)=x^5-55x+21

έχει δυο ρίζες αντίστροφες

#2

R BORIS έγραψε:Να δείξετε ότι το έχει δυο ρίζες αντίστροφες

Ακόμα καλύτερα, ελέγχουμε ότι τα (3 - $\sqrt{5}$ )/2 και (3 + $\sqrt{5}$ )/2 είναι ρίζες. Φυσικά είναι αντίστροφες η μία της άλλης.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ιστοσελίδα · #3

: apant polyon.PNG (11.59 KiB) Προβλήθηκε 1943 φορές

#4

Καλωσορίζω και εγώ τον συνάδελφο Ροδόλφο Μπόρη.

Μία προσέγγιση θα μπορούσε να ήταν και η εξής:
Θέλουμε το αρχικό πολυώνυμο να έχει δύο αντίστροφες ρίζες. Επομένως να έχει παράγοντα ενα τριώνυμο όπου τό γινόμενο των ριζών του θα είναι 1. Κάποιο λοιπόν τριώνυμο της μορφής: $x^{2}+dx+1$ . Ο άλλος παράγοντας θα είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού με συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου 1. Ας το πούμε $x^{3}+ax^{2}+bx+c$
'Εχουμε:
$x^{5}-55x+21=\left( x^{2}+dx+1\right) \left( x^{3}+ax^{2}+bx+c\right)$
οπότε:
$x^{5}-55x+21=x^{5}+\left( d+a\right) x^{4}+\left( 1+da+b\right) x^{3}+\left( a+db+c\right)$
και επομένως το σύστημα:
$\left. \begin{array}{l} d + a = 0 \\ 1 + da + b = 0 \\ a + db + c = 0 \\ b + dc = - 55 \\ c = 21 \\ \end{array} \right\}$
Από την επίλυση του βρίσκουμε ότι b=8,c=21,a=3,d=-3

και επομένως το πολυώνυμο έχει παράγοντα το $x^{2}-3x+1$ που όντως έχει δύο πραγματικές αντίστροφες ρίζες.
Μαυρογιάννης

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
R BORIS έγραψε:Να δείξετε ότι το έχει δυο ρίζες αντίστροφες
Ακόμα καλύτερα, ελέγχουμε ότι τα (3 - $\sqrt{5}$ )/2 και (3 + $\sqrt{5}$ )/2 είναι ρίζες. Φυσικά είναι αντίστροφες η μία της άλλης.

Στην παραπάνω λύση δεν εξήγησα πώς σκέφτηκα. Εννοείται ότι οι ρίζες που έγραψα δεν είναι ουρανοκατέβατες! Αξίζει να γράψω την μέθοδο (= τα μυστικά της δουλειάς...) γιατί εκεί βρίσκεται το κλειδί της άσκησης.

Μας δόθηκε ένα πολυώνυμο x^5+ Ax + B

και μας ζητήθηκε να δείξουμε ότι έχει αντίστροφες ρίζες. Με άλλα λόγια, αν x ρίζα του αρχικού, οπότε

x^5 + Ax + B = 0

... (1)

θέλουμε να δείξουμε ότι η 1/x είναι επίσης ρίζα. Το τελευταίο ισοδυναμεί με το ότι το x ικανοποιεί την

Bx^5 + Ax^4 + 1 = 0

... (2)

Διώχνουμε το x^5 από την (2), με χρήση της (1).

Δίνει B(-Ax-B) + Ax^4 + 1 = 0

δηλαδή

... (3)

Πολλαπλασιάζουμε τη (3) επί x για να το κάνουμε πεμπτοβάθμιο (η αιτία της επιλογής αυτής αιτιολογείται στο επόμενο βήμα)

Ax^5 - ABx^2 + (1 - B^2)x = 0

... (4)

Μεταξύ της (1) και της (4) διώχνουμε το x^5. Το πετυχαίνουμε αυτό πολλαπλασιάζοντας την (1) επί Α μετά αφαιρούμε την (4). Θα βρούμε

ABx^2 + (A^2 + B^2 -1)x +AB = 0

... (5)

Δηλαδή δευτεροβάθμια. Ζήτωωωω! Ξέρουμε να την λύνουμε! Και τα καλά νέα είναι ότι το γινόμενο των ριζών είναι 1, διότι ΑΒ/ΑΒ = 1. Τελειώσαμε!

Με τα συγκεκριμένα Α, Β της άσκησης η τελική δευτεροβάθμια βγήκε x^2 - 3x + 1= 0

, και από κει βρήκα τις ρίζες που έγραψα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Υ.Γ.
Τώρα είδα την ωραία εξήγηση του Νίκου, που βασίζεται σε άλλη ιδέα. Τον ευχαριστώ.
Συμπέρασμα: τίποτα ουρανοκατέβατο στα Μαθηματικά.... Όλα έχουν τις αιτίες τους.
Άλλο Μαθηματικά και άλλο Αλχημεία.

p_gianno · #6

Βάζω μια απάντηση εδώ
για να μπορώ να διεκδικώ την μακροσκελέστερη λύση !!!
Παρατήρηση
Στην δεύτερη γραμμή η παράσταση ρ^2-3ρ+1 να αγνοηθεί

: inverse roots.png (26.04 KiB) Προβλήθηκε 1822 φορές

Πάνος

Πολυώνυμο 2

Πολυώνυμο 2

Re: Πολυώνυμο 2

Re: Πολυώνυμο 2

Re: Πολυώνυμο 2

Re: Πολυώνυμο 2

Re: Πολυώνυμο 2

Μέλη σε σύνδεση