πολυώνυμα- λογάριθμοι

Ιστοσελίδα · #1

Καλημέρα στους φίλους του

Μια καλή άσκηση για επανάληψη.

Αν τα πολυώνυμα $\displaystyle{ P(x) = \alpha ^{\ln \alpha } x^3 + 4x^2 \ln \sqrt \alpha + 24 }$ και $\displaystyle{ Q(x) = e x^3 + x^2 \ln (\alpha e) + 24 }$ είναι ίσα, τότε:

α) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α.

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{ P(x) }$ δεν τέμνει τον ημιάξονα $\displaystyle{ Ox }$

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{ P(x) }$ είναι κάτω από την ευθεία (ε): $\displaystyle{ y = - 12ex }$

______________________________________________________________________
ίσα πολυώνυμα, λογάριθμοι, επαναληπτική άσκηση
______________________________________________________________________

hlkampel · #2

α) Αν . $P\left( x \right) = Q\left( x \right)$ ., τότε με $\alpha > 0$ :
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {\alpha ^{\ln \alpha }} = e \\ \kappa \alpha \iota \\ 4\ln \sqrt \alpha = \ln \left( {\alpha e} \right) \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \ln \left( {{\alpha ^{\ln \alpha }}} \right) = \ln e \\ \kappa \alpha \iota \\ \ln {\alpha ^2} = \alpha e \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\ln \alpha } \right)^2} = 1 \\ \kappa \alpha \iota \\ {\alpha ^2} = \alpha e \\ \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha > 0} \left\{ \begin{array}{l} \ln \alpha = 1\;\eta \;\ln \alpha = - 1 \\ \kappa \alpha \iota \\ \alpha = e \\ \end{array} \right.}$
Άρα $\alpha = e$
β) Με $\alpha = e$ (ελπίζω αυτό να εννοεί η άσκηση) είναι: $P(x) = e{x^3} + 2{x^2} + 24$
Αν x > 0

τότε

, οπότε δεν τέμνει το ημιάξονα Οx
γ) $P(x) < - 12ex \Leftrightarrow e{x^3} + 2{x^2} + 12ex + 24 < 0 \Leftrightarrow$
$ex\left( {{x^2} + 12} \right) + 2x\left( {{x^2} + 12} \right) < 0 \Leftrightarrow$
$\left( {{x^2} + 12} \right)\left( {ex + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow$
$ex < - 2 \Leftrightarrow x < - 2{e^{ - 1}}$
γιατί ${x^2} + 12 > 0$ για κάθε $x \in R$

Γιαννακάκης Αντώνης · #3

Για το πρώτο ερώτημα κατέληξα και 'γω σε δύο εξισώσεις:

$\begin{cases} & \text a^{\ln a}=e \\ & \text 4\ln a^{\frac{1}{2}}=\ln a + \ln e \end{cases}$

Και πήρα μόνο τη δεύτερη και έφτασα στο ότι a=e

, μετά δοκίμασα τη λύση στην πρώτη και αφού βγήκε συνέχισα.

Για το δευτέρο ερώτημα, σκέφτηκα: πώς για να μην τέμνει η Cf τον Ox πρέπει το σύστημα του P(x)

με την ευθεία y=0

να μην έχει καμία λύση, ή, ισοδύναμα, το σύστημα του P(x)

με την ευθεία x=0

να ισχύει πάντα. Δεν ξέρω αν είναι σωστή λογική, ωστόσο. Έβαλα, πάντως, στο P(x)

το

και βγήκε μια ανίσωση που ίσχυε.

Για το τελευταίο είπα και εγώ:

$P(x)<-12ex \Rightarrow ex^{3} +2x^{2} +24 +12ex <0 \Rightarrow ex(x^{2} + 12) + 2(x^{2} +12)<0\Rightarrow (x^{2} +12)(ex + 2)<0$

Όμως, η πρώτη ισχύει πάντα x^2>-12

άρα η δεύτερη θα καθορίσει το διάστημα που ψάχνουμε.

Έτσι: ex + 2 > 0

ισχύει μόνο για τέτοια

τέτοια ώστε ex > -2

.

EDIT: Απ'ό,τι βλέπω στο προηγούμενο post, πρέπει να λύσω ως προς

την τελευταία ανίσωση και ό,τι βγάλει αυτή είναι το ζητούμενο διάστημα.

Τελικά, δεν καταλαβαίνω πώς πρέπει να λύσω το δεύτερο ερώτημα. Όποιος μπορείς, ας βοηθήσει.

πολυώνυμα- λογάριθμοι

πολυώνυμα- λογάριθμοι

Re: πολυώνυμα- λογάριθμοι

Re: πολυώνυμα- λογάριθμοι

Μέλη σε σύνδεση