Χ στο Χ(ιαστί)

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle \sqrt[3]{x^{2}-3x+4}=\frac{10}{x^{2}-3x+1}$

GMANS · #2

Θέτω $u=\sqrt[3]{x^2-3x+4}>0$
Η δοσμένη γίνεται $u=\frac{10}{u^3-3} (1)$ και $u\neq \sqrt[3]{3}$
(1) $\Leftrightarrow u^4-3u-10=0\Leftrightarrow (u-2)(u^3+2u^2+4u+5)=0\Leftrightarrow u=2$
(είναι u^3+2u^2+4u+5>0

μια και u>0)

και

$u=2\Leftrightarrow x^2-3x+4=8\Leftrightarrow x^2-3x-4=0\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x=-1 & & \\ \acute{\eta }& & \\ x=4& & \end{Bmatrix}$

#3

Καλησπέρα.
Ας δώσω κι εγώ την προτασή μου,μετά απο αυτήν του Γιώργου.
Παρατηρώ πως $\displaystyle{ x^2 - 3x + 1 > 0 \wedge x^2 - 3x + 4 > 0,\forall x \in R }$
Αυτό με οδηγεί να θέσω $\displaystyle{ y = x^2 - 3x + 1 > 0,\forall x \in R }$
Τότε η δοθείσα γίνεται:
$\displaystyle{ \sqrt[3]{{y + 3}} = \frac{{10}}{y} \Rightarrow y^3 (y + 3) = 1000 \Rightarrow y^4 + 3y^3 - 1000 = 0 }$
Mε σχήμα Horner για $\displaystyle{ \rho = 5 }$ έχω πως γράφεται:
$\displaystyle{ (y - 5)(y^3 + 8y^2 + 40y + 200) = 0 \Rightarrow y - 5 = 0 \vee y^3 + 8y^2 + 40y + 200 = 0 }$
Η δεύτερη αποκλείεται να ισχύει,γιατί πρόκειται για άθροισμα θετικών συνεπώς
$\displaystyle{ y = 5 }$ δεκτή(με απλές πράξεις φαίνεται πως επαληθεύει)
Τώρα γυρνώντας πίσω έχω:
$\displaystyle{ x^2 - 3x + 1 = 5 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = - 1 \vee x = 4 }$ δεκτές αφού με απλές πράξεις βρίσκουμε πως επαληθεύουν.

Χ στο Χ(ιαστί)

Χ στο Χ(ιαστί)

Re: Χ στο Χ(ιαστί)

Re: Χ στο Χ(ιαστί)

Μέλη σε σύνδεση