Ανισότητα και ... λογάριθμοι

Συντονιστής: exdx

KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2543
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Ανισότητα και ... λογάριθμοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Μάιος 09, 2011 1:51 am

Από Νίκο Ζανταρίδη (nikoszan)

Αν \displaystyle a,b,c>1 να δείξετε ότι:

\displaystyle log_a(\frac{b^2+c^2}{b+c})+log_b(\frac{c^2+a^2}{c+a})+log_c(\frac{a^2+b^2}{a+b})\geq 3

(Προτεινόμενη από Ρουμάνικη Βιβλιογραφία)


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6428
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα και ... λογάριθμοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Μάιος 09, 2011 2:34 am

KDORTSI έγραψε:Από Νίκο Ζανταρίδη (nikoszan)

Αν \displaystyle a,b,c>1 να δείξετε ότι:

\displaystyle log_a(\frac{b^2+c^2}{b+c})+log_b(\frac{c^2+a^2}{c+a})+log_c(\frac{a^2+b^2}{a+b})\geq 3

(Προτεινόμενη από Ρουμάνικη Βιβλιογραφία)
Για θετικούς \displaystyle{x,y} έχουμε \displaystyle{\frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}.}

Επομένως, έχουμε

\displaystyle{log_a(\frac{b^2+c^2}{b+c})+log_b(\frac{c^2+a^2}{c+a})+log_c(\frac{a^2+b^2}{a+b})\geq log_a \sqrt{bc}+log_b \sqrt{ca}+log_c \sqrt{ab}=\frac{\ln \sqrt{bc}}{\ln a}+\frac{\ln \sqrt{ca}}{\ln b}+\frac{\ln \sqrt{ab}}{\ln c}=}

\displaystyle{=\frac{1}{2}\left(\frac{\ln a+\ln b}{\ln c}+ \frac{\ln b+\ln c}{\ln a}+\frac{\ln c+\ln a}{\ln b}\right)\geq \frac{1}{2}\cdot 6=3.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6238
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα και ... λογάριθμοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Ιουν 23, 2011 11:44 am

Κι εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης