Ανισότητα και ... λογάριθμοι

#1

Από Νίκο Ζανταρίδη (nikoszan)

Αν $\displaystyle a,b,c>1$ να δείξετε ότι:

$\displaystyle log_a(\frac{b^2+c^2}{b+c})+log_b(\frac{c^2+a^2}{c+a})+log_c(\frac{a^2+b^2}{a+b})\geq 3$

(Προτεινόμενη από Ρουμάνικη Βιβλιογραφία)

#2

KDORTSI έγραψε:Από Νίκο Ζανταρίδη (nikoszan)

Αν $\displaystyle a,b,c>1$ να δείξετε ότι:

$\displaystyle log_a(\frac{b^2+c^2}{b+c})+log_b(\frac{c^2+a^2}{c+a})+log_c(\frac{a^2+b^2}{a+b})\geq 3$

(Προτεινόμενη από Ρουμάνικη Βιβλιογραφία)

Για θετικούς $\displaystyle{x,y}$ έχουμε $\displaystyle{\frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}.}$

Επομένως, έχουμε

$\displaystyle{log_a(\frac{b^2+c^2}{b+c})+log_b(\frac{c^2+a^2}{c+a})+log_c(\frac{a^2+b^2}{a+b})\geq log_a \sqrt{bc}+log_b \sqrt{ca}+log_c \sqrt{ab}=\frac{\ln \sqrt{bc}}{\ln a}+\frac{\ln \sqrt{ca}}{\ln b}+\frac{\ln \sqrt{ab}}{\ln c}=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\left(\frac{\ln a+\ln b}{\ln c}+ \frac{\ln b+\ln c}{\ln a}+\frac{\ln c+\ln a}{\ln b}\right)\geq \frac{1}{2}\cdot 6=3.}$

parmenides51 · #3

Κι εδώ

Ανισότητα και ... λογάριθμοι

Ανισότητα και ... λογάριθμοι

Re: Ανισότητα και ... λογάριθμοι

Re: Ανισότητα και ... λογάριθμοι

Μέλη σε σύνδεση