Κ-ωραία με Βιετάνμ !

KARKAR · #1

1) Πόσο είναι το γινόμενο των ριζών του πολυωνύμου : $P(x)=(4x^{3}-3x^{2}-2x+1)(x^{3}-2x^{2}-3x+4)$ ;

2) Πόσο είναι το γινόμενο των ριζών του πολυωνύμου : $Q(x)=(5x^4-22x^{3}+27x^{2}-10x+1)(x^{4}-10x^{3}+27x^{2}-22x+5)$ ;

sokratis lyras · #2

Για το 1)

Παραγοντοποιούμε τις παρενθέσεις και παίρνουμε:
$4x^3-3x^2-2x+1=4x^3-4x^2+x^2-2x+1=(\left x-1 \right)(\left 4x^2+x-1 \right)$ και παίρνω ρίζες με γινόμενο $\frac{-1}{4}$
$x^3-2x^2-3x+4=(\left x-1 \right)(\left x^2-x-4 \right)$ με μοναδική ρίζα το x=1

Άρα το γινόμενο των ριζών είναι

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος..το κεφάλι μου βουήζει από την χημεία!!!

Eυχαριστώ τον KARKAR για τιν υπόδειξη του λάθους!

Stavroulitsa · #3

Καλησπέρα! Έχω να κάνω μια παρατήρηση ως διάλειμμα από το διάβασμα λογοτεχνίας (η χημεία μια χαρά είναι μην παραπονιέσαι!!!

) παρατηρώ πως το πολυώνυμο P(x) αν κάνουμε τις πράξεις βγαίνει αντίστροφη εξίσωση διότι
P(x)=(4x^3-3x^2-2x+1)(x^3-2x^2-3x+4)=4x^6-11x^5-8x^4+29x^3-8x^2-11x+4

επομένως για κάθε ρίζα ρ, θα υπάρχει και ρίζα 1/ρ και επειδή είναι άρτιου βαθμού το γινόμενο των ριζών θα ισούται με 1.
επίσης παρατηρώ πως στο πολυώμυνο στη μορφή που μας δίνεται οι συντελεστες που υπάρχουν στους παράγοντες πάνε αντίστροφα έτσι ώστε όταν τα πολλαπλασιάζουμε ισχύει το εξης: ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 6 και κάθε μονώνυμο μαζί με το αντίστοιχό του με το οποίο αν πολλαπλασιαστουν να έχουν γινόμενο 6ου βαθμου, αυτά τα ζευγάρια έχουν το καθένα ίδιο συντελεστή.
Με αυτην την παρατήρηση μπορώ να πω πως και το Q(x) εχει τη μορφή αντίστροφης εξίσωσης άρτιου βαθμού και το γινόμενων των ριζών του θα είναι 1.
Αλλά πως θα μπορούσα να τη διατυπώσω αυτή τη σκέψη ώστε να είναι σωστή;

#4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Stavroulitsa · #5

smar έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε μόνο δύο όρους και να μην κάνετε καμία άλλη πράξη. Απλά σκεφτείτε ... Vieta !!!

Σκέφτηκα για τους τύπους Vieta, αλλά δε τους θυμόμουν...

από τους τύπους του Vieta έχουμε πως
$S_\nu =\rho _1\rho _2\rho _3...\rho_ {\nu -1}\rho \nu =(-1)^\nu \frac{a_0}{a_\nu }$
εδώ παρατηρούμε πως ο σταθερος όρος του P(x) είναι 4*1=4 και το μονώνυμο με το μεγαλύτερο βαθμό είναι $4x^3\cdot x^3=4x^6$
άρα το γινόμενο των ριζών είναι
$(-1)^6\frac{4}{4}=1$
αντε πάω να γράψω λογοτεχνία!!!

#6

Βέβαια, υπάρχει το πρόβλημα, ότι βρισκόμαστε στο φάκελο της Β' Λυκείου και όταν αναφερόμαστε σε ρίζες πολυωνύμου, εννοούμε τις πραγματικές ρίζες! Έτσι ο Vieta ενδέχεται να μας δώσει ''περίεργο'' αποτέλεσμα.

Κ-ωραία με Βιετάνμ !

Κ-ωραία με Βιετάνμ !

Re: Κ-ωραία με Βιετάνμ !

Re: Κ-ωραία με Βιετάνμ !

Re: Κ-ωραία με Βιετάνμ !

Re: Κ-ωραία με Βιετάνμ !

Re: Κ-ωραία με Βιετάνμ !

Μέλη σε σύνδεση