Σύστημα αόριστο

#1

Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων $\lambda ,\mu$ ώστε το επόμενο σύστημα να είναι αόριστο:

$\left {\begin{matrix} (1+\lambda )x+(\mu +1)y=5 \\ (3\lambda +1)x+3\mu y=10 \end{matrix}\right\}$

(Η λύση να είναι συμβατή με τη θεωρία του νέου βιβλίου Άλγεβρας Α΄ Λυκείου)

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.

$\displaystyle{\begin{cases} (1+\lambda)x+(\mu+1)y=5\\ (3\lambda+1)x+3\mu y=10 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} (\mu+1)y=(-\lambda-1)x+5\\ 3\mu y=(-3\lambda-1)x+10 \end{cases} }$

Θα διακρίνουμε τρείς περιπτώσεις

1) $\displaystyle{\mu\neq -1\ \land \mu\neq 0}$

Τότε το σύστημά μας παίρνει την ακόλουθη μορφή

$\displaystyle{\begin{cases} y=\frac{(-\lambda-1)}{\mu+1}x+\frac{5}{\mu+1}\\ y=\frac{(-3\lambda-1)}{3\mu}x+\frac{10}{3\mu} \end{cases} }$

Για να έχει το σύστημα άπειρες λύσεις πρέπει οι ευθείες να ταυτίζονται και άρα

$\displaystyle{\frac{-\lambda-1}{\mu+1}=\frac{-3\lambda-1}{3\mu}\Leftrightarrow -3\lambda\mu-3\mu=-3\lambda\mu-3\lambda-\mu-1\Leftrightarrow 2\mu-3\lambda=1}$

και $\displaystyle{\frac{5}{\mu+1}=\frac{10}{3\mu}\Leftrightarrow 15\mu=10\mu+10\Leftrightarrow 5\mu=10\Leftrightarrow \mu=2}$

Για $\displaystyle{\mu=2}$ θα είναι $\displaystyle{4-3\lambda=1\Rightarrow 3\lambda=3\Rightarrow \lambda=1}$

2) $\displaystyle{\mu=-1}$

$\displaystyle{\begin{cases} (1+\lambda)x=5\\ (3\lambda+1)x-3y=10 \end{cases}}$

Αν $\displaystyle{\lambda=-1}$ το σύστημα είναι αδύνατο.Αντίστοιχα αν $\displaystyle{\lambda=\frac{-1}{3}}$ ,το σύστημα έχει μοναδική λύση

Ομοίως αν $\displaystyle{\lambda\neq -1\ \land \lambda\neq \frac{-1}{3}}$ το σύστημα έχει μοναδική λύση

3) $\displaystyle{\mu=0}$
Εργαζόμαστε ομοίως με το 2)

Τελικά το σύστημα είναι αόριστο για το ζέυγος $\displaystyle{(\lambda,\mu)=(1,2)}$

Επαλήθευση

$\displaystyle{\begin{cases} 2x+3y=5\\ 4x+6y=10 \end{cases}\Leftrightarrow (x,y)=\left(x,\frac{5-2x}{3}\right)}$

#3

: Αόριστο σύστημα.PNG (28.99 KiB) Προβλήθηκε 1310 φορές

: Αόριστο σύστημα 1.PNG (25.16 KiB) Προβλήθηκε 1310 φορές

7.ggb: (4.99 KiB) Μεταφορτώθηκε 27 φορές

Και μια γραφική παρουσίαση του όλου δρώμενου:

Πρώτο σχήμα:
Οι ευθείες αυτές σε μια τυχαία θέση με παραμέτρους $\displaystyle{(\lambda,\mu) \neq (1,2)}$
Η λύση του αρχικού συστήματος είναι οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{A}$ της τομής των ευθειών αυτών.

Δεύτερο σχήμα:
Οι ευθείες ταυτιζόμενες με παραμέτρους $\displaystyle{(\lambda,\mu) = (1,2)}$
Στην περίπτωση αυτή οι συντεταγμένες κάθε σημείου της ευθείας αυτής είνα λύση
του συστήματος που προκύπτει από το αρχικό για τις τιμές αυτές των παραμέτρων.

Κώστας Δόρτσιος

#4

Μια άλλη σκέψη είναι η εξής:

Εύκολα βλέπουμε ότι οι εξισώσεις παριστάνουν ευθείες, και, άρα πρέπει να συμπίπτουν. Να είναι και οι κατακόρυφες αποκλείεται, αφού αυτό συμβαίνει όταν $\mu =-1$ και $\mu =0$ .

Επομένως τέμνουν τον άξονα των

στο ίδιο σημείο που θα το βρούμε αν θέσουμε x=0

.

Αυτό δίνει $(\mu +1)y=5$ και $3\mu y=5$ , και τώρα $y=\frac{5}{3},\mu =2$ . Τώρα με πολλούς τρόπους βρίσκουμε το λ. Και το D=0

δίνει λύση, και το να θέσουμε π.χ. x=1

που δίνει το κοινό τους σημείο με την ευθεία x=1

κ.λπ.

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Σύστημα αόριστο

Σύστημα αόριστο

Re: Σύστημα αόριστο

Re: Σύστημα αόριστο

Re: Σύστημα αόριστο

Re: Σύστημα αόριστο

Μέλη σε σύνδεση