Τριγωνομετρία

solars · #1

Να επιλυθεί η εξίσωση :

$\displaystyle{\sin 2x \cdot \left( {\sin x - \cos x} \right) = \sqrt 2 }$

#2

Καλησπέρα.
Η λύση που ψάχνουμε αφορά τους πραγματικούς ;

#3

Εξαιρετική άσκηση. Μήπως να την αφήσουμε για τους μαθητές μας;

Με ένα τεχνασματάκι, λύνεται σε δύο γραμμές! Δεν χρειάζονται πολλές διαδικασίες και πράξεις. Χαρείτε την.

Μ.

#4

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα.
Η λύση που ψάχνουμε αφορά τους πραγματικούς ;

Ναι, έχει πραγματικές ρίζες. Μία τέτοια είναι η

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα.
Η λύση που ψάχνουμε αφορά τους πραγματικούς ;
Ναι, έχει πραγματικές ρίζες.

Οκ,εγώ έχω καταλήξει απλά το ρώτησα γιατί το θεωρώ σημαντικό να λέγεται στην εκφώνηση.
Ας τη χαρούν οι μαθητές μας...

parmenides51 · #6

μια σχετική υπόδειξη για όποιον μαθητή θέλει να ασχοληθεί εδώ

gavrilos · #7

Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε $\displaystyle{\sin^{2}{2x}(\sin^{2}{x}-2\sin{x}\cos{x}+\cos^{2}{x})=2 \Leftrightarrow \sin^{2}{2x}(1-\sin{2x})=2}$ .

Ξέρουμε όμως πως $\displaystyle{0\leq \sin^{2}{2x}\leq 1}$ και $\displaystyle{0\leq 1-\sin{2x}\leq 2}$ .

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη,η ανισότητα διατηρεί φορά αφού έχουμε θετικούς όρους κι έτσι έχουμε:

$\displaystyle{0\leq \sin^{2}{2x}(1-\sin{2x})\leq 2}$ .

Ισχύει η ισότητα συνεπώς $\displaystyle{\sin{2x}=-1=\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}}$ .

Επομένως $\displaystyle{2x=\begin{cases} 2k\pi -\frac{\pi}{2} \\ 2k\pi +\frac{3\pi}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x=\begin{cases} \frac{4k\pi -\pi}{4} \\ \frac{4k\pi +3\pi}{4} \end{cases}}$ .

#8

solars έγραψε:Να επιλυθεί η εξίσωση :

$\displaystyle{\sin 2x \cdot \left( {\sin x - \cos x} \right) = \sqrt 2 }$

Από Cauchy-Schwarz (ή από τους απαγορευμένους σήμερα τύπους) εύκολα βλέπουμε ότι $|\sin x - \cos x | \le \sqrt 2$ . Αφού $|\sin (2x)| \le 1$ η αρχική δίνει $|\sin (2x)| = 1, \, |\sin x - \cos x | = \sqrt 2$ , που σημαίνει α) $2x = k\pi + \frac {1}{2} \pi$ και συγχρόνως β) (ισότητα στην C-S) $|\sin x |=|\cos x| = \frac {\sqrt 2}{2}$ . Με απευθείας έλεγχο αυτών των τιμών διαπιστώνουμε ότι οι λύσεις είναι $x=(2k+1)\pi + \frac {3\pi}{4}, \, k \in \mathbb Z$ .

M.

Edit: Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο.

Νέο Edit: Τώρα παρατηρώ ότι η άσκηση πρωτομπήκε το 2011 αλλά κανείς δεν έκανε τότε το κόπο να γράψει συστηματική λύση.

gavrilos · #9

Βασικά βλέπω ότι έχετε βρει έναν τύπο που δίνει τις λύσεις,ενώ εγώ δύο.Μήπως έχω κάνει κάποιο λάθος;;

Με εκτίμηση,
Γιώργος

#10

Μάλλον κάποιο λογιστικό σφάλμα θα υπάρχει κάπου.

Δεν ξέρω αν στο δικό μου είναι σωστές οι πράξεις, αλλά δεν βλέπω σφάλμα στον επανέλεγχο που έκανα. Όμως ομολογώ ότι στις πράξεις συχνά κάνω λάθη.

Στο δικό σου για k=2

δίνει την λύση $x= \frac {11\pi}{4}$ που όμως δεν ικανοποιεί την δοθείσα. Βρίσκω ότι αυτή η τιμή του

δίνει τιμή $-\sqrt 2$ αντί $\sqrt 2$ στην παράσταση αριστερά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Demosthenes56 · #11

gavrilos, υψώνοντας στο τετράγωνο, ουσιαστικά λύνεις το εξής:
$\displaystyle{\sin (2x) \cdot (\sin x - \cos x) = \sqrt 2 }$ ή $\displaystyle{\sin (2x) \cdot (\sin x - \cos x) = - \sqrt 2 }$ .
Για $\displaystyle{k}$ άρτιο, η πρώτη λύση που βρήκες αντιστοιχεί στην πρώτη εξίσωση και η δεύτερη λύση στη δεύτερη εξίσωση,
ενώ για $\displaystyle{k}$ περιττό, η πρώτη λύση αντιστοιχεί στη δεύτερη εξίσωση και η δεύτερη λύση στην πρώτη εξίσωση.

Ας δώσω και εγώ μία λύση στην αρχική.

Διαιρώντας δια $\displaystyle{\sqrt 2 }$ βρίσκουμε

$\displaystyle{\sin (2x) \cdot \sin (x - \frac{\pi }{4}) = 1}$

Αυτό ισχύει μόνο όταν
$\displaystyle{\sin (2x) = 1}$ και $\displaystyle{\sin (x - \frac{\pi }{4}) = 1}$
ή
$\displaystyle{\sin (2x) = - 1}$ και $\displaystyle{\sin (x - \frac{\pi }{4}) = - 1}$ .

Το πρώτο σύστημα είναι αδύνατο, ενώ το δεύτερο δίνει $\displaystyle{x = 2k\pi - \frac{\pi } {4}\,,\;\;k \in \mathbb{Z}}$ .

EDIT: Δεν ήμουν προσεκτικός στην εξήγηση προς τον gavrilos.

Γιώργος Απόκης · #12

gavrilos έγραψε:Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε $\displaystyle{\sin^{2}{2x}(\sin^{2}{x}-2\sin{x}\cos{x}+\cos^{2}{x})=2 \Leftrightarrow \sin^{2}{2x}(1-\sin{2x})=2}$ .

Aφού υψώνεις στο τετράγωνο και τα μέλη της αρχικής δεν είναι (απαραίτητα) ομόσημα προκύπτουν κι άλλες λύσεις.

(Μόλις είδα την απάντηση του Demosthenes)

#13

Demosthenes56 έγραψε: Διαιρώντας δια $\displaystyle{\sqrt 2 }$ βρίσκουμε

$\displaystyle{\sin (2x) \cdot \sin (x - \frac{\pi }{4}) = 1}$

Αυτό εννοούσα όταν έγραφα

Mihalis_Lambrou έγραψε:<...> ή από τους απαγορευμένους σήμερα τύπους <...>

Η λύση που δίνεις είναι η ενδεδειγμένη με την πάλαι ποτέ σχολική ύλη της Τριγωνομετρίας αλλά δυστυχώς η σημερινή μειώθηκε σε απαράδεκτο βαθμό. Για να μείνω στα πλαίσια του σχολείου, προσάρμοσα την λύση μου σε κάπως αφύσικη αλλά εντός ύλης.

Θα ήταν ευχής έργο ο νομοθέτης να επαναφέρει την ύλη της Τριγωνομετρίας στο Αναλυτικό Πρόγραμμα. Το τωρινό Αναλυτικό Πρόγραμμα μόνο δυσκολίες φέρνει τόσο στη απαραίτητη γνώση εντός των Μαθηματικών όσο και στην Φυσική, την Μηχανική κ.λπ.

Μ.

gavrilos · #14

Demosthenes56 έγραψε:gavrilos, υψώνοντας στο τετράγωνο, ουσιαστικά λύνεις το εξής:
$\displaystyle{\sin (2x) \cdot (\sin x - \cos x) = \sqrt 2 }$ ή $\displaystyle{\sin (2x) \cdot (\sin x - \cos x) = - \sqrt 2 }$ .
Για $\displaystyle{k}$ άρτιο, η πρώτη λύση που βρήκες αντιστοιχεί στην πρώτη εξίσωση και η δεύτερη λύση στη δεύτερη εξίσωση,
ενώ για $\displaystyle{k}$ περιττό, η πρώτη λύση αντιστοιχεί στη δεύτερη εξίσωση και η δεύτερη λύση στην πρώτη εξίσωση.

Κατάλαβα ότι η ύψωση στο τετράγωνο επέφερε αυτό το πρόβλημα,αλλά μπερδεύτηκα λίγο.Τι πρέπει να κάνω για να διορθώσω τη λύση μου;

Πάντως βλέπω ότι μέχρι το σημείο που λέω $\displaystyle{\sin {2x}=-1}$ είμαι εντάξει.

Γιώργος Απόκης · #15

gavrilos έγραψε: Κατάλαβα ότι η ύψωση στο τετράγωνο επέφερε αυτό το πρόβλημα,αλλά μπερδεύτηκα λίγο.Τι πρέπει να κάνω για να διορθώσω τη λύση μου;

Από τη στιγμή που η αρχική και η τελική εξίσωση δεν είναι ισοδύναμες (αφού ύψωσες στο τετράγωνο), πρέπει να κάνεις επαλήθευση των λύσεων.

kostas232 · #16

Καλησπέρα!
Θα προσπαθήσω να δώσω κάποιες περαιτέρω διευκρινήσεις για την ωραία αυτήν άσκηση. Αν μου διαφεύγει κάτι παρακαλώ διορθώστε με.
Ήδη έχουμε βρει ότι sin2x=-1

. Από εκεί και πέρα:
Επιστρέφουμε στην αρχική σχέση και έχουμε:
$\displaystyle{sinx-cosx=-\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2}sin\left (x-\frac{\pi}{4} \right )=-\sqrt{2}\Leftrightarrow sin\left (x-\frac{\pi}{4} \right )=-1}$ .
Άρα έχουμε τις λύσεις $\displaystyle{x-\frac{\pi}{4}=2k\pi-\frac{\pi}{2}=2k\pi-\frac{\pi}{4}, k\in \mathbb{Z}}$ .
και $\displaystyle{x-\frac{\pi}{4}=2k\pi +\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=2k\pi+\frac{7\pi}{4},k\in \mathbb{Z}}$ .
Ελέγχουμε τώρα αν οι παραπάνω λύσεις ικανοποιούν τη σχέση sin2x=-1

:
Έχουμε $\displaystyle{x=2k\pi-\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow 2x=4k\pi-\frac{\pi}{2}}$ .
Άρα $sin(2x)=sin\left (4k\pi-\frac{\pi}{2} \right )=sin\frac{-\pi}{2}=-1$ .
Έχουμε επίσης $\displaystyle{x=2k\pi+\frac{7\pi}{4}\Leftrightarrow 2x=4k\pi+\frac{7\pi}{2}}$ .
Άρα $sin2x=sin\left (4k\pi+\frac{7\pi}{2} \right )=sin\frac{7\pi}{2}=sin\left (2\pi+\frac{3\pi}{2} \right )=sin\frac{3\pi}{2}=-1$

Επομένως η αρχική εξίσωση έχει τις λύσεις
$\boxed{x=2k\pi-\frac{\pi}{4}}$ και $\boxed{x=2k\pi+\frac{7\pi}{4}}$ , με $k\in \mathbb{Z}$ .

Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρια

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση