Συγκρισούλα 8

KARKAR · #1

Να συγκριθούν οι αριθμοί : $\displaystyle 1+\frac{e}{1000}$ , και $\; e^\frac{1}{1000} \;$

* Αυτό το $e^\frac{1}{1000}$ , πώς γίνεται μεγαλύτερο σε μέγεθος ;

#2

KARKAR έγραψε:Να συγκριθούν οι αριθμοί : $\displaystyle 1+\frac{e}{1000}$ , και $\; e^\frac{1}{1000} \;$

Ακόμα καλύτερα, να συγκριθούν οι αριθμοί : $\displaystyle 1+\frac{e}{1000}$ , και $\; (1+e)^\frac{1}{1000} \;$

Γενικότερα οι $\displaystyle 1+\frac{a}{1000}$ , και $\; (1+a)^\frac{1}{1000} \;, a>0.$

M.

#3

KARKAR έγραψε:* Αυτό το $e^\frac{1}{1000}$ , πώς γίνεται μεγαλύτερο σε μέγεθος ;

αν γράγουμε e^\displaystyle \frac{1}{1000} δίνει $e^\displaystyle \frac{1}{1000}$ ,αλλάζει μόνο το κλάσμα

για όλο δυστυχώς δεν γνωρίζω κάτι

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε:
KARKAR έγραψε:Να συγκριθούν οι αριθμοί : $\displaystyle 1+\frac{e}{1000}$ , και $\; e^\frac{1}{1000} \;$
Ακόμα καλύτερα, να συγκριθούν οι αριθμοί : $\displaystyle 1+\frac{e}{1000}$ , και $\; (1+e)^\frac{1}{1000} \;$

Γενικότερα οι $\displaystyle 1+\frac{a}{1000}$ , και $\; (1+a)^\frac{1}{1000} \;, a>0.$

M.

Για $\displaystyle{ \nu \in N^* ,\nu \geqslant 2 }$ έχουμε: $\displaystyle{ \alpha > 0 \Rightarrow \frac{\alpha } {{1000}} > 0\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \nu \iota \sigma \tau \eta \tau \alpha - Bernoulli} \left( {1 + \frac{\alpha } {{1000}}} \right)^\nu > 1 + \nu \cdot \frac{\alpha } {{1000}}\xrightarrow{{\nu = 1000}}\left( {1 + \frac{\alpha } {{1000}}} \right)^{1000} > 1 + 1000 \cdot \frac{\alpha } {{1000}} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {1 + \frac{\alpha } {{1000}}} \right)^{1000} > 1 + \alpha > 0 \Rightarrow \sqrt[{1000}]{{\left( {1 + \frac{\alpha } {{1000}}} \right)^{1000} }} > \sqrt[{1000}]{{1 + \alpha }}\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha > 0 \Rightarrow \left( {1 + \frac{\alpha } {{1000}} > 0,1 + \alpha > 0} \right)} \boxed{1 + \frac{\alpha } {{1000}} > \left( {1 + \alpha } \right)^{\frac{1} {{1000}}} } }$

Στάθης

KARKAR · #5

Επειδή ο

, "κατευθύνει" , μια αυτόνομη λύση της αρχικής ( με τους "γενικούς" - ας πούμε !)

Cauchy -Schwarz

: $\displaystyle \frac{999+e}{1000}>\sqrt[1000]{1{\cdot}1{\cdot}1{\cdot}..\cdot}e}\Rightarrow 1-\frac{1}{1000}+\frac{e}{1000}>e^{\frac{1}{1000}}$

Συγκρισούλα 8

Συγκρισούλα 8

Re: Συγκρισούλα 8

Re: Συγκρισούλα 8

Re: Συγκρισούλα 8

Re: Συγκρισούλα 8

Μέλη σε σύνδεση