Βρείτε το πολυώνυμο

#1

Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα

με πραγματικούς συντελεστές, αν

$\displaystyle{ xP\bigg(\frac{y}{x}\bigg)+yP\bigg(\frac{x}{y}\bigg)=x+y. }$

#2

Προς τους μαθητές μας: Σας παροτρύνω να ασχοληθείτε με την ωραία αυτή άσκση.

Στο hyde δίνω (χωρίς σχόλια και χωρίς υπόδειξη) τι βαθμό έχει το ζητούμενο πολυώνυμο. Αυτό ίσως σας οδηγήσει στον σωστό δρόμο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Grigoris K. · #3

Ας κάνω μία προσπάθεια αν και η τριβή μου με τα πολυώνυμα είναι μηδαμινή:

Όπως αναφέρει και ο κ. Λάμπρου το ζητούμενο πολυώνυμο (έστω P(t)

) είναι πρώτου βαθμού καθώς το δεξί μέλος είναι πρώτου βαθμού και έτσι αναγκαστικά και το πρώτο μέλος θα είναι πρώτου βαθμού. Εύκολα προκύπτει ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνον αν το ζητούμενο P(t)

είναι πρώτου βαθμού.

Έστω P(t) = at + b

. Η δοσμένη σχέση γίνεται:

$ay + bx + ax + by = x + y \Leftrightarrow (a+b)(x+y) = x + y$ . Άρα $a + b = 1 \Leftrightarrow b = 1 - a$ .

Συνεπώς το ζητούμενο P(t)

είναι το $P(t) = at + 1 - a ,~ a \in R$ . Η επαλήθευση είναι εύκολη.

#4

Γρηγόρη, η λύση είναι ελλειπής.

Το δεξί μέλος είναι μεν πρώτου βαθμού, αλλά αυτό δεν σημαίνει ασχολίαστα ότι το

είναι επίσης πρώτου. Θέλει δουλειά, γιατί θα μπορούσε το αριστερό μέλος να γίνει πρώτου βαθμού λόγω απλοποιήσεων.

Ας δώσω ένα παράδειγμα.

Πες ότι μας ζητούν να δείξουμε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο

με

.

Το λοιπόν, δεν μπορούμε να πούμε ότι αν υπάρχει τέτοιο

τότε είναι πρωτοβάθμιο άρα P(x) = ax+b

. Συνεπώς

δηλαδή για κάθε

είναι

, άτοπο.

Να όμως που τέτοιο πολυώνυμο υπάρχει. Είναι το x^2

και άλλα.

Ελπίζω να ξεκαθάρισα μερικά πράγματα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Grigoris K. · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:Γρηγόρη, η λύση είναι ελλειπής.

Το δεξί μέλος είναι μεν πρώτου βαθμού, αλλά αυτό δεν σημαίνει ασχολίαστα ότι το είναι επίσης πρώτου. Θέλει δουλειά, γιατί θα μπορούσε το αριστερό μέλος να γίνει πρώτου βαθμού λόγω απλοποιήσεων.

Έχετε δίκιο κ. Λάμπρου. Δεν μπορώ να φανταστώ όμως την περαιτέρω δικαιολόγηση. Άμα θεωρήσουμε το πρώτο μέλος πολυώνυμο προκύπτει ότι αυτό θα είναι πρωτοβάθμιο αν και μόνον αν το P(t)

είναι πρωτοβάθμιο. Γιατί; Διότι εξάγοντας το πολυωνύμο P(t)

τα

στο πρώτο τύπο και τα

στο δεύτερο τύπο θα απλοποιθούν και κατά συνέπεια "αυτό" που θα μείνει μετά τις απλοποιήσεις θα πρέπει να είναι αναγκαστικά πρώτου βαθμού διότι δεν θα επιδέχονται περαιτέρω απλοποιήσεις. Στο παράδειγμα που δίνεται υπάρχει και η αφαίρεση που μπορεί να δημιουρήσει επιπλέον απλοποιήσεις.

#6

Grigoris K. έγραψε: <...> Δεν μπορώ να φανταστώ όμως την περαιτέρω δικαιολόγηση. Άμα θεωρήσουμε το πρώτο μέλος πολυώνυμο προκύπτει ότι αυτό θα είναι πρωτοβάθμιο αν και μόνον αν το είναι πρωτοβάθμιο. Γιατί; Διότι εξάγοντας το πολυωνύμο τα στο πρώτο τύπο και τα στο δεύτερο τύπο θα απλοποιθούν και κατά συνέπεια "αυτό" που θα μείνει μετά τις απλοποιήσεις θα πρέπει να είναι αναγκαστικά πρώτου βαθμού διότι δεν θα επιδέχονται περαιτέρω απλοποιήσεις. Στο παράδειγμα που δίνεται υπάρχει και η αφαίρεση που μπορεί να δημιουρήσει επιπλέον απλοποιήσεις.

Σωστά, αλλά όλα αυτά είναι "λόγια". Τώρα προσπάθησε να τα κάνεις σύμβολα. Ως υπόδειξη, το πρώτο βήμα είναι:
"Έστω $P(t) = a_nt^n + a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_0$ . Tότε η δοθείσα για δίνει ... "

Νασιούλας Αντώνης · #7

Ας δώσω μια λύση. Δεν ξέρω αν αυτή έχει στο μυαλό του ο κ. Μιχάλης.

$\displaystyle{\boxed{ xP\bigg(\frac{y}{x}\bigg)+yP\bigg(\frac{x}{y}\bigg)=x+y. \color{red}{(1)}}}$

Αρχικά είναι $x,y\neq 0$ .

Διαιρώντας με το

(αφού $y\neq 0$ ) και θέτοντας όπου $\displaystyle{\frac{x}{y}}$ το

η $\color{red}{(1)}$ γίνεται:

$\displaystyle{\boxed{ kP\bigg(\frac{1}{k}\bigg)+P\bigg(k\bigg)=k+1, k\in \mathbb{R}-\left\{0 \right\}. \color{red}{(2)}}}$

(Να σημειώσω ότι το βήμα αυτό είναι ισοδύναμο με αυτό που προτείνει ο κ. Μιχάλης -να θέσουμε y=1

. Το βάζω έτσι απλώς και μόνο επειδή με αυτόν τον τρόπο το έλυσα στο χαρτί.)

Έστω το πολυώνυμο $P(k) = a_nk^n + a_{n-1}k^{n-1}+\cdots +a_0, a_n\neq 0$ .
Η $\color{red}{(2)}$ αν κάνουμε τις επιμεριστικές καταλήγει στην:

$\displaystyle{a_nk^{1-n}+a_{n-1}k^{2-n}+\cdots+a_1+a_0k+a_nk^n+a_{n-1}k^{n-1}+\cdots+a_1k+a_0=k+1\mathop{\Leftrightarrow}\limits^{k\neq 0}_{(*)}=$

$\displaystyle{=a_nk^{2n}+a_{n-1}k^{2n-1}+\cdots+(a_1+a_0)k^{n+1}+(a_0+a_1)k^n+\cdots a_{n-1}k^2+a_nk=k^{n+1}+k^n}$

(Στο (*)

έγινε πολλαπλασιασμός με το k^n

).

Στην τελευταία θα πρέπει $deg(LHS)=deg(RHS)\Leftrightarrow 2n=n+1\Leftrightarrow n=1$ .

Άρα το πολυώνυμο είναι πρώτο βαθμού, δηλαδή $P(k)=ax+b, a,b\in \mathbb{R}.$

Επίσης αν στην $\color{red}{(1)}$ θέσουμε x=y=1

προκύπτει ότι $P(1)=1\Leftrightarrow a+b=1$ .

Άρα τελικά το ζητούμενο πολυώνυμο είναι το:

$\displaystyle{\boxed{P(k)=ak+1-a, a\in \mathbb{R}}}$

Ελπίζω να μαι σωστός.

#8

Σωστά, με μία μικρή προσθήκη.

Χρησιμοποιείς ότι $n\ge 1$ (π.χ. στην δέκατη γραμμή εμφανίζεται ένα a_0k

). Κανονικά πρέπει να εξετάσεις χωριστά την περίπτωση του σταθερού πολυωνύμου. Θα βγει τότε και η λύση p(x) =1

, που όμως εμπεριέχεται στην λύση που έγραψες (είναι για a=0

).

M.

Νασιούλας Αντώνης · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:Σωστά, με μία μικρή προσθήκη.

Χρησιμοποιείς ότι $n\ge 1$ (π.χ. στην δέκατη γραμμή εμφανίζεται ένα ). Κανονικά πρέπει να εξετάσεις χωριστά την περίπτωση του σταθερού πολυωνύμου. Θα βγει τότε και η λύση , που όμως εμπεριέχεται στην λύση που έγραψες (είναι για ).

M.

Kύριε Μιχάλη μάλλον κάτι δεν κατάλαβα. Στην δέκατη γραμμή εμφανίζεται ο όρος a_0k

επειδή:

$\displaystyle{kP\left(\frac{1}{k}\right)=k\left(a_nk^{-n}+a_{n-1}k^{1-n}+\cdots+a_1k^{-1}+a_0\right)=a_nk^{1-n}+a_{n-1}k^{2-n}+\cdots+a_1k^{0}+a_0}k=a_nk^{1-n}+a_{n-1}k^{2-n}+\cdots+a_1+a_0k}$

Από αυτό δεν βλέπω πως προκύπτει το $n\geq 1$

#10

Νασιούλας Αντώνης έγραψε: <...>

$\displaystyle{kP\left(\frac{1}{k}\right)=k\left(a_nk^{-n}+a_{n-1}k^{1-n}+\cdots+a_1k^{-1}+a_0\right)=a_nk^{1-n}+a_{n-1}k^{2-n}+\cdots+a_1k^{0}+a_0}k=a_nk^{1-n}+a_{n-1}k^{2-n}+\cdots+a_1+a_0k}$

Από αυτό δεν βλέπω πως προκύπτει το $n\geq 1$

Αντώνη, η πρώτη γραμμή για n=0

μεταφράζεται

$\displaystyle{kP\left(\frac{1}{k}\right)=k\left(a_0 \cdot 1 + ... +a_1k^{-1}+a_0\right) = ...$

που δεν έχει νόημα. Γι' αυτό λέω ότι χρησιμοποιείς (κρυφά) ότι $n\ge 1$ .

Μ.

Βρείτε το πολυώνυμο

Βρείτε το πολυώνυμο

Re: Βρείτε το πολυώνυμο

Re: Βρείτε το πολυώνυμο

Re: Βρείτε το πολυώνυμο

Re: Βρείτε το πολυώνυμο

Re: Βρείτε το πολυώνυμο

Re: Βρείτε το πολυώνυμο

Re: Βρείτε το πολυώνυμο

Re: Βρείτε το πολυώνυμο

Re: Βρείτε το πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση