Φρέσκια...

irakleios · #1

Έφτιαξα την παρακάτω ασκησούλα :

Aν για τους πραγματικούς x , y

ορίζουμε

, υπολογίστε το άθροισμα :

100*99 - 99*98 + 98*97 - 97*96 + ...-3*2 + 2*1

#2

Έστω

η δοσμένη παράσταση. Τότε

$A=(100^{3}-99)-(99^{3}-98)+(98^{3}-97)-...-(3^{3}-2)+(2^{3}-1)=$

$(100^{3}-99^{3})+(98^{3}-97^{3})+...+(2^{3}-1^{3})-(99-98)-(97-96)-...-(3-2)=$

$(100^{2}+99.100+99^{2})+(98^{2}+97.98+97^{2})+...+(2^{2}+1.2+1^{2})-1-1-1-...-1=$

$100^{2}+99^{2}+98^{2}+...+1^{2}+99.100+97.98+...+1.2-49$ (1)

(Οι άσσοι στο τέλος είναι στο πλήθος, όσο είναι το πλήθος των αριθμών 2,4,6,...,98 δηλαδή 49)

Έχουμε ότι $(2n-1).2n=4n^{2}-2n$

Άρα

$99.100=4.50^{2}-2.50$

$97.98=4.49^{2}-2.49$

$1.2=4.1^{2}-2.1$

Άρα

$A=S_{2}+(4.50^{2}-2.50)+(4.49^{2}-2.49)+...+(4.1^{2}-2.1)-49=$

$S_{2}+4S{'}_{2}-2S_{1}-49$

'οπου

$S_{2}=1^{2}+2^{2}+...+100^{2}=\frac{100(100+1)(2.100+1)}{6}=338350$

$S{'}_{2}=1^{2}+2^{2}+...+50^{2}=\frac{50.(50+1).(2.50+1)}{6}=42925$

$S_{1}=1+2+...+50=\frac{(1+50).50}{2}=1275$

Άρα A=338350+4.42925-2.1275-49=507451

(με επιφύλαξη για τις πράξεις)

Φρέσκια...

Φρέσκια...

Re: Φρέσκια...

Μέλη σε σύνδεση