Ακόμα μια με τριγωνομετρία

[hsiodos]

Καλησπέρα σε όλους
Απ' ότι φαίνεται για μας ισχύει: " Ξεφυλλίζοντας ανοίγει η όρεξη"
Μια άσκηση από παλιό βιβλίο που ήρθε σήμερα στα χέρια μου.

Να δείξετε ότι
α) για κάθε

β) για κάθε

Γιώργος

[k-ser]

Να δείξετε ότι
α) για κάθε

β) για κάθε

Είναι


Συνεπώς
(1)

Αν τότε από (1) (2)

Αν τότε από (1) (3)

Από τη (1) έχουμε το α)
Από τη (2) προκύπτει το β), το οποίο όμως δεν προκύπτει από την (3)!

[hsiodos]

Αν τότε από (1) (3)

Από τη (1) έχουμε το α)
Από τη (2) προκύπτει το β), το οποίο όμως δεν προκύπτει από την (3)!

Ωραία αντιμετώπιση Κώστα
Νομίζω ότι από το α) ερώτημα προκύπτει το β)

Γιώργος

[hsiodos]

Γράφω την λύση που έχει δοθεί από τον συγγραφέα του βιβλίου από το οποίο έχω πάρει την άσκηση.

α) Έστω . Επειδή η συνάρτηση εφαπτομένη έχει περίοδο τον αριθμό π , θα έχει επίσης περίοδο και τον αριθμό -3νπ, οπότε:

\displaystyle{= \epsilon \phi \left(\pi \frac{(\sqrt{9\nu ^2+\nu }-3\nu )(\sqrt{9\nu ^2+\nu }+3\nu)}{\sqrt{9\nu ^2+\nu }+3\nu} \right)}\displaystyle{= \epsilon \phi \left(\frac{\pi }{\sqrt{9+\frac{1}{\nu }}+3} \right)\epsilon \phi (\pi \sqrt{9\nu ^2+\nu })=\epsilon \phi \left(\frac{\pi }{\sqrt{9+\frac{1}{\nu }}+3} \right)0<\frac{\pi }{\sqrt{9+\frac{1}{\nu }}+3} <\frac{\pi }{\sqrt{9}+3}=\frac{\pi }{6}[0,\frac{\pi }{2})0<\epsilon \phi \left(\frac{\pi }{\sqrt{9+\frac{1}{\nu }}+3} \right)<\epsilon \phi \frac{\pi }{6}0<\varepsilon \phi (\pi \sqrt{9\nu ^2+\nu } )<\frac{1}{\sqrt{3}}\,\,\,\nu \in N^*x=\pi \sqrt{9\nu ^2+\nu }\nu \in N^*\epsilon \phi x<\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sqrt{3}\eta \mu x<\sigma \upsilon \nu x\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\eta \mu x<\frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu x}

Γιώργος

[k-ser]

Γιώργο,
η απόδειξη που δίνει ο συγγραφέας για το β) είναι λάθος!

Ο αριθμός x, για τους περιττούς ακεραίους ν, όπως έχω δείξει στη σχέση (3), βρίσκεται στο 3ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου και συνεπώς το συνx είναι αρνητικό.
Προσπαθώντας ο συγγραφέας να δείξει το β), πολλαπλασιάζει τη σχέση του α) με συνx.
Όμως, για ν περιττό ακέραιο, η φορά της ανισότητας θα αλλάξει και έτσι, η ζητούμενη από το β) ερώτημα, σχέση δεν ισχύει.

Το β) ερώτημα ισχύει για ν άρτιο, ενώ για ν περιττό ισχύει η αντίστροφη ανισότητα.

Το είχα γράψει στο προηγούμενο μήνυμά μου - μάλλον δεν έγινε κατανοητό.

[hsiodos]

Γιώργο,
η απόδειξη που δίνει ο συγγραφέας για το β) είναι λάθος!

Ο αριθμός x, για τους περιττούς ακεραίους ν, όπως έχω δείξει στη σχέση (3), βρίσκεται στο 3ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου και συνεπώς το συνx είναι αρνητικό.
Προσπαθώντας ο συγγραφέας να δείξει το β), πολλαπλασιάζει τη σχέση του α) με συνx.
Όμως, για ν περιττό ακέραιο, η φορά της ανισότητας θα αλλάξει και έτσι, η ζητούμενη από το β) ερώτημα, σχέση δεν ισχύει.

Το β) ερώτημα ισχύει για ν άρτιο, ενώ για ν περιττό ισχύει η αντίστροφη ανισότητα.

Το είχα γράψει στο προηγούμενο μήνυμά μου - μάλλον δεν έγινε κατανοητό.

Κώστα έχεις δίκιο, πράγματι δεν το είχα καταλάβει. Τώρα το εμπέδωσα, σε ευχαριστώ.
Τελικά και οι πολύ καλοί συγγραφείς-μαθηματικοί κάνουν λάθη.

Γιώργος