Α-τύπως και χωρίς ανάλυση

KARKAR · #1

A) Δείξτε ότι : $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx$ , $\forall x , y , z \in R$

B) Δείξτε ότι : $\displaystyle 2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x+\sqrt{2}(\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x)\leq 3$ .

Προτιμάται λύση , χωρίς χρήση ανάλυσης ή τριγωνομετρικών τύπων !

kostas136 · #2

Έχω την αίσθηση ότι υπάρχει τυπογραφικό στο πρώτο γινόμενο. Δεν πρέπει να υπάρχει το 2. Δεν ξέρω τί λένε και οι υπόλοιποι φίλοι.

#3

1) Για κάθε $\displaystyle{ x,y,z \in R }$ ισχύει:

$\displaystyle{ \left( {x - y} \right)^2 + \left( {y - z} \right)^2 + \left( {z - x} \right)^2 \geqslant 0 \Leftrightarrow \ldots 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx \geqslant 0 \Leftrightarrow \ldots }$ $\displaystyle{ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \geqslant 2xy + 2yz + 2zx\mathop \Leftrightarrow \limits^{:2} \boxed{x^2 + y^2 + z^2 \geqslant xy + yz + zx}:\left( 1 \right) }$

2) Από την $\displaystyle{ \left( 1 \right) }$ έχουμε: $\displaystyle{ \left( 1 \right)\xrightarrow{{x \to \eta \mu x,y \to \sigma \upsilon \nu x,z \to \frac{{\sqrt 2 }} {2}}}\eta \mu ^2 x + \sigma \upsilon \nu ^2 x + \left( {\frac{{\sqrt 2 }} {2}} \right)^2 \geqslant \eta \mu x\sigma \upsilon \nu x + \frac{{\sqrt 2 }} {2}\sigma \upsilon \nu x + \frac{{\sqrt 2 }} {2}\eta \mu x\mathop \Rightarrow \limits^{\eta \mu ^2 x + \sigma \upsilon \nu ^2 x = 1} }$

$\displaystyle{ \eta \mu x\sigma \upsilon \nu x + \frac{{\sqrt 2 }} {2}\sigma \upsilon \nu x + \frac{{\sqrt 2 }} {2}\eta \mu x \leqslant 1 + \frac{1} {2} \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \eta \mu x\sigma \upsilon \nu x + \frac{{\sqrt 2 }} {2}\sigma \upsilon \nu x + \frac{{\sqrt 2 }} {2}\eta \mu x \leqslant \frac{3} {2}\mathop \Rightarrow \limits^{ \cdot 2} }$ $\displaystyle{ \boxed{2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x + \sqrt 2 \left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) \leqslant 3} }$

Στάθης

kostas136 · #4

Βιάστηκα, λάθος μου, συγνώμη στον φίλο Karkar.

kostas136 · #5

Για να επανορθώσω, με βάση την θαυμάσια σκέψη του Στάθη γενικεύουμε στο εξής:

$\displaystyle ksinxcosx+\sqrt{k}sinx+\sqrt{k}cosx\leq k+1$ για κάθε μη αρνητικό

Ας μας μείνει, είναι ωραία σχέση.

Grigoris K. · #6

kostas136 έγραψε:Για να επανορθώσω, με βάση την θαυμάσια σκέψη του Στάθη γενικεύουμε στο εξής:

$\displaystyle ksinxcosx+\sqrt{k}sinx+\sqrt{k}cosx\leq k+1$ για κάθε μη αρνητικό

Ας μας μείνει, είναι ωραία σχέση.

Για την γενίκευση του κ. Κώστα:

Ισχύει από ΑM-ΓΜ: $sin^2x + cos^2x \geq 2sinxcosx \Rightarrow \displaystyle \frac{k(sin^2 + cos^2x)}{2} \geq ksinxcosx$ .

Επίσης: $\displaystyle {2k(sin^2x + cos^2x) \geq k(sinx + cosx)^2 \Rightarrow \sqrt{2k(sin^2x + cos^2x)} \geq \sqrt{k}(sinx + cosx)}$ .

Από τις δύο προηγούμενες με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει:

$ksinxcosx + \sqrt{k}(sinx + cosx) \leq \displaystyle \frac{k}{2} + \sqrt{2k}$ .

Αρκεί να δειχθεί ότι $\displaystyle \frac{k}{2} + \sqrt{2k} \leq k + 1 \Leftarrow \sqrt{2k} \leq \frac{k}{2} + 1 \Leftarrow 2\sqrt{2k} \leq k + 2$ , που ισχύει από ΑΜ-ΓΜ.

Α-τύπως και χωρίς ανάλυση

Α-τύπως και χωρίς ανάλυση

Re: Α-τύπως και χωρίς ανάλυση

Re: Α-τύπως και χωρίς ανάλυση

Re: Α-τύπως και χωρίς ανάλυση

Re: Α-τύπως και χωρίς ανάλυση

Re: Α-τύπως και χωρίς ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση