Υπάρχουν φυσικοί

#1

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί x,y

ώστε να ισχύει ότι:

$\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}$

Ιστοσελίδα · #2

$\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}} = \sqrt[3]{3^3+3\cdot 3^2\sqrt{2}+3\cdot 3(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^3}$

$= \sqrt[3]{(3+\sqrt{2})^3} = 3+\sqrt{2}$ .

x=3 , y=1

parmenides51 · #3

$\displaystyle{(x+y\sqrt{2})^3=x^3+3x^2y\sqrt{2}+3xy^22+y^3\sqrt{2}^3=x^3+3x^2y\sqrt{2}+6xy^2+2y^3\sqrt{2}}$

$\displaystyle{(x+y\sqrt{2})^3=(x^3+6xy^2)+(3x^2y+2y^3)\sqrt{2}}$

Αναζητούμε φυσικούς $\displaystyle{x,y}$ ώστε $\displaystyle{(x+y\sqrt{2})^3=45+29\sqrt{2}\Leftrightarrow (x^3+6xy^2)+(3x^2y+2y^3)\sqrt{2}=45+29\sqrt{2}}$

οπότε αρκεί να λύσουμε στους φυσικούς το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3+6xy^2=45\\ 3x^2y+2y^3=29 \end{matrix}\right} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+6xy^2=45 & (1)\\ y(3x^2+2y^2)=29 & (2) \end{matrix}\right} }$

Από την σχέση (2)προκύπτει πως ο φυσικός $\displaystyle{y}$ είναι διαιρέτης του πρώτου αριθμού $\displaystyle{29}$ , οπότε $\displaystyle{y\in\{1,29\}}$ .

Με αντικατάσταση της τιμής $\displaystyle{y=29}$ στην σχέση (2) καταλήγουμε σε άτοπο διότι το πρώτο μέλος της είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο μέλος της.

Με αντικατάσταση της τιμής $\displaystyle{y=1}$ στην σχέση (2) έχουμε $\displaystyle{3x^2+2=29 \Leftrightarrow 3x^2=27 \Leftrightarrow x=3}$ διότι $\displaystyle{x}$ φυσικός.

Παρατηρούμε ότι το ζεύγος $\displaystyle{(x,y)=(3,1)}$ επαληθεύει και την σχέση (1), άρα είναι η λύση του συστήματος.

Τέλος κάνουμε επαλήθευση στην αρχική εξίσωση, δηλαδή $\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}=\sqrt[3]{(3+\sqrt{2})^3}=3+\sqrt{2}=x+y\sqrt{2}$

οπότε $\displaystyle{x=3}$ και $\displaystyle{y=1}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Να αποδείξετε ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί ώστε να ισχύει ότι:

$\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}$

Η λύση του Στράτη τα λέει όλα. Για όφελος των μαθητών μας που μπορεί να αναρωτιούνται "και πώς βρήκες τους αριθμούς", γράφω συνοπτικά και τις σκέψεις.

Αν $\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}$ τότε αποδεικνύεται (έχει να κάνει με άρρητους αριθμούς, αφού υψώσουμε στον κύβο, και το αφήνω ως άσκηση) ότι
$\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}=x-y\sqrt{2}$ .

Με πρόσθεση κατά μέλη είναι $2x = \sqrt[3]{45+29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}$ .

Υψώνοντας στον κύβο με χρήση της ταυτότητας (a+b)^3 = a^3 + b^3+3ab(a+b)

έχουμε

$8x^3 = ( 45 + 29 \sqrt {2} ) + ( 45 - 29 \sqrt {2} ) +3 \sqrt [3] { ( 45 + 29 \sqrt {2} )( 45 - 29 \sqrt {2} ) } \cdot 2x =$

$= 90 +6x \sqrt [3] { 45^2 - 29^2\cdot 2 } = 90 +6x \sqrt [3] { 343 } = 90 +6x \cdot 7$

Δηλαδή 4x^3= 45 + 21x

. Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι έχει ρίζα (μοναδική πραγματική) την x=3

. Όμοια ή με χρήση του προηγούμενου, βρίσκουμε y=1

.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υπάρχουν φυσικοί

Υπάρχουν φυσικοί

Re: Υπάρχουν φυσικοί

Re: Υπάρχουν φυσικοί

Re: Υπάρχουν φυσικοί

Μέλη σε σύνδεση