Πλευρές ανάλογες προς 3, 5, 7

Γιώργος Απόκης · #1

Αν σε τρίγωνο ABC

είναι

και $\hat{C}=120^{o}$ , να δείξετε ότι οι πλευρές του τριγώνου

είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 3,~5,~7

.

#2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Αν σε τρίγωνο είναι και $\hat{C}=120^{o}$ , να δείξετε ότι οι πλευρές του τριγώνου

είναι ανάλογες προς τους αριθμούς .

Γιώργο καλό μεσημέρι

Από νόμο συνημιτόνων έχουμε:

$\displaystyle{ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\sigma \upsilon \nu C\mathop \Rightarrow \limits^{\sigma \upsilon \nu C = \sigma \upsilon \nu 120^0 = - \frac{1} {2}} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\left( { - \frac{1} {2}} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ c^2 = a^2 + b^2 + ab \Rightarrow c^2 - a^2 = b\left( {b + a} \right) \Rightarrow \left( {c - a} \right)\left( {a + c} \right) = b\left( {b + a} \right) }$

$\displaystyle{ \mathop \Rightarrow \limits^{a + c = 2b} 2b\left( {c - a} \right) = b\left( {b + a} \right) \Rightarrow 2\left( {c - a} \right) = b + a \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {c - a} \right)\mathop = \limits^{a + c = 2b \Rightarrow b = \frac{{a + c}} {2}} \frac{{a + c}} {2} + a \hfill \\ b + a\mathop = \limits^{a + c = 2b \Rightarrow c = 2b - a} 2\left( {2b - a - a} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 4\left( {c - a} \right) = a + c + 2a \hfill \\ b + a = 4b - 4a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 4c - 4a = a + c + 2a \hfill \\ 5a = 3b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 3c = 7a \hfill \\ 5a = 3b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{c} {7} = \frac{a} {3} \hfill \\ \frac{a} {3} = \frac{b} {5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{a} {3} = \frac{b} {5} = \frac{c} {7}} }$

Στάθης

Πλευρές ανάλογες προς 3, 5, 7

Πλευρές ανάλογες προς 3, 5, 7

Re: Πλευρές ανάλογες προς 3, 5, 7

Μέλη σε σύνδεση