Ισοπεριμετρικά

KARKAR · #1

Δύο τρίγωνα , ένα ισόπλευρο και ένα ορθογώνιο , έχουν ίσες περιμέτρους ( $L_{\iota \sigma }=L_{o\varrho }$ ) ,

και λόγο εμβαδών $\sqrt{3}$ , (δηλαδή $E_{\iota \sigma }=\sqrt{3}{\cdot}E_{o\varrho }$ ) .

Βρείτε την εφαπτομένη , της μεγαλύτερης οξείας γωνίας του ορθογωνίου τριγώνου .

( Μην σας ανησυχεί το αποτέλεσμα , κι αυτό αριθμούλης του Θεού(?) είναι ! )

#2

Ας είναι $\displaystyle{x}$ η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου, $\displaystyle{y,z}$ οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου ( $\displaystyle{y\geq z.}$ ) και $\displaystyle{\phi}$ η μεγαλύτερη οξεία γωνία του.

Η υποτείνουσα του ορθογωνίου, είναι από το πυθαγόρειο θεώρημα ίση με $\displaystyle{\sqrt{y^2+z^2}.}$

Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε

$\displaystyle{3x=y+z+\sqrt{y^2+z^2}}$ και $\displaystyle{\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\frac{1}{2}yz.}$

Η δεύτερη γράφεται ως $\displaystyle{x=\sqrt{2yz},}$ οπότε, με αντικατάσταση στην πρώτη, έχουμε

$\displaystyle{3\sqrt{2yz}=y+z+\sqrt{y^2+z^2}}$

ή αλλιώς

$\displaystyle{3\sqrt{2yz}-y-z=\sqrt{y^2+z^2}}$ .

Διαιρούμε τα μέλη αυτής με $\displaystyle{z}$ και θέτουμε $\displaystyle{\sqrt{\frac{y}{z}}=q\geq 1}$ , οπότε λαμβάνουμε

$\displaystyle{3\sqrt{2}q-1-q^2=\sqrt{q^4+1}.}$

Από εδώ, με ύψωση στο τετράγωνο, έχουμε (αφού γίνουν όλες οι αναγωγές και απλοποιήσεις)

$\displaystyle{3\sqrt{2}q^2-10q+3\sqrt{2}=0}$ .

Λύνουμε αυτή τη δευτεροβάθμια και βρίσκουμε

$\displaystyle{q=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3\sqrt{2}}}$ . Κρατάμε την $\displaystyle{\frac{5+ \sqrt{7}}{3\sqrt{2}}}$ γιατί $\displaystyle{q\geq 1.}$

Τελικά είναι $\displaystyle{\tan \phi =\frac{y}{x}=q^2=\Big(\frac{5+ \sqrt{7}}{3\sqrt{2}}\Big)^2=\frac{16+5\sqrt{7}}{9}.}$

Ισοπεριμετρικά

Ισοπεριμετρικά

Re: Ισοπεριμετρικά

Μέλη σε σύνδεση