Άθροισμα κύβων

KARKAR · #1

Για τους μη μηδενικούς , και διαφορετικούς μεταξύ τους πραγματικούς αριθμούς a , b , c

ισχύει :

$\displaystyle\frac{1-a^3}{a}=\frac{1-b^3}{b}=\frac{1-c^3}{c}$ . Βρείτε την τιμή της παράστασης : a^3+b^3+c^3

#2

KARKAR έγραψε:Για τους μη μηδενικούς , και διαφορετικούς μεταξύ τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει :

$\displaystyle\frac{1-a^3}{a}=\frac{1-b^3}{b}=\frac{1-c^3}{c}$ . Βρείτε την τιμή της παράστασης :

Ισχύει

$\displaystyle{\frac{1}{a}-a^2=\frac{1}{b}-b^2\Rightarrow a^2-b^2=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}.}$ Επειδή είναι $\displaystyle{a\ne b}$ λαμβάνουμε

$\displaystyle{a+b=-\frac{1}{ab}.}$

Ομοίως, προκύπτει

$\displaystyle{b+c=-\frac{1}{bc}}$ και $\displaystyle{c+a=-\frac{1}{ca}.}$

Με πρόσθεση αυτών προκύπτει $\displaystyle{2(a+b+c)=-\frac{a+b+c}{abc}.}$ (I)

Επίσης, με αφαίρεση των $\displaystyle{a+b=-\frac{1}{ab}}$ και $\displaystyle{b+c=-\frac{1}{bc}}$ προκύπτει επειδή $\displaystyle{a\ne c,}$ $\displaystyle{abc=1}$ .

Οπότε, από την (Ι) είναι $\displaystyle{a^3+b^3+c^3=3abc=3.}$

#3

Έχουμε: $a^{3}=1-ka,b^{3}=1-kb,c^{3}=1-kc$ όπου θέσαμε τους ίσους λόγους με

.
Άρα
$a^{3}-b^{3}=k(b-a)$

$a^{3}-c^{3}=k(c-a)$

Άρα
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=-k(a-b)\Rightarrow a^{2}+ac+c^{2}=-k$

$(a-c)(a^{2}+ac+c^{2}=-k(a-c)$ $\Rightarrow a^{2}+ac+c^{2}=-k$

(αφού οι αριθμοί a,b,c

είναι διάφοροι μεταξύ τους)

Άρα $a^{2}+ab+b^{2}=a^{2}+ac+c^{2}\Rightarrow a(b-c)=(c-b)(c+b)\Rightarrow -a=c+b\Rightarrow a+b+c=0$ ΄

Αλλά $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3-k(a+b+c)$ (αυτό προκύπτει με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων
$a^{3}=1-ka,b^{3}=1-kb,c^{3}=1-kc$ )

Τελικά λοιπόν έχουμε ότι $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3-k.0=3$

#4

Ακόμα μια λύση με Vieta:

Αν θέσουμε $\displaystyle{\frac{1-a^3}{a}=\frac{1-b^3}{b}=\frac{1-c^3}{c}=k,}$

βλέπουμε ότι τα $\displaystyle{a,b,c}$ είναι οι ρίζες του πολυωνύμου

$\displaystyle{f(x)=x^3+kx-1.}$

Τότε, είναι άμεσο ότι $\displaystyle{a+b+c=0}$ και $\displaystyle{abc=1,}$ οπότε προκύπτει $\displaystyle{a^3+b^3+c^3=3abc=3.}$

#5

matha έγραψε:Ακόμα μια λύση με Vieta:

Αν θέσουμε $\displaystyle{\frac{1-a^3}{a}=\frac{1-b^3}{b}=\frac{1-c^3}{c}=k,}$

βλέπουμε ότι τα $\displaystyle{a,b,c}$ είναι οι ρίζες του πολυωνύμου

$\displaystyle{f(x)=x^3+kx-1.}$

Τότε, είναι άμεσο ότι $\displaystyle{a+b+c=0}$ και $\displaystyle{abc=1,}$ οπότε προκύπτει $\displaystyle{a^3+b^3+c^3=3abc=3.}$

Πολύ ωραία λύση!!!

Άθροισμα κύβων

Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Μέλη σε σύνδεση