Στήριξη ... σκάλας

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

: ladder.png (6.73 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές

Η ... σκάλα

, μήκους

, θα στηριχτεί στον ... τοίχο

και στο ... δάπεδο

Το

είναι η πλάγια όψη μιας κυβικής δεξαμενής με ακμή 1 .

Πόσο απέχει το σημείο στήριξης

από το έδαφος

;

ΥΓ
Την άσκηση μου την έδωσε συνάδελφος ( Φυσικός ) το πρωί στο σχολείο.

KARKAR · #2

Σύμφωνα με το σχήμα έχουμε : $\displaystyle\frac{h-1}{h}=\frac{x}{4}$ και (h-1)^2+1=x^2

Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις προκύπτει η εξίσωση : h^4-2h^3-14h^2+32h-16=0

η οποία έχει λύση (που να ταιριάζει στο σχήμα του μηχανικού ) το $h\simeq 3.76$ .

Δυστυχώς η λύση θα βρεθεί μέσω computer και όχι "με το χέρι " ...

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #3

Έχω δώσει μία λύση, που δεν χρειάζεται " computer "
Καταλήγει σε εξίσωση 4ου βαθμού με γνωστό τρόπο επίλυσης.

Γιώργος Απόκης · #4

Μάλλον δεν είναι η λύση που έχει ο φίλος NIZ αλλά δίνω μία...

Συνεχίζοντας από την εξίσωση του Θανάση (KARKAR), απαιτώ το πολυώνυμο να γραφτεί στη μορφή

h^4-2h^3-14h^2+32h-16=(h^2+ah+b)(h^2+mh+n)

. Κάνοντας τις πράξεις στο 2ο μέλος και εξισώνοντας έχουμε:

$\begin{cases}m+a=-2 \\ b+am+n=-14 \\bm+an=32 \\bn=-16\end{cases}$ . Μία λύση του συστήματος είναι: $a=-1-\sqrt{17},~b=1+\sqrt{17},~m=-1+\sqrt{17},~n=1-\sqrt{17}$ .

Mηδενίζοντας τα τριώνυμα που προκύπτουν έχουμε:

$h^2+ah+b=0\Leftrightarrow h^2+(-1-\sqrt{17})h+1+\sqrt{17}=0$ με ρίζες $\displaystyle{h_{1,2}=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{17}\pm \sqrt{14-2\sqrt{17}}\right)}$ και

$h^2+mh+n=0\Leftrightarrow h^2+(-1+\sqrt{17})h+1-\sqrt{17}=0$ με ρίζες $\displaystyle{h_{3,4}=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{17}\pm \sqrt{14+2\sqrt{17}}\right)}$

Προσεγγιστικές τιμές είναι οι $h_1\simeq 1.362,~h_2 \simeq 3.761,~h_3\simeq -3.919 \color{red} <0\color{black},~h_4\simeq 0.797$ (Διαλέγετε και παίρνετε

)

p_gianno · #5

Έστω

η εξίσωση της ευθείας

η οποία επειδή διέρχεται από το σημείο C(1,1)

έχει την εξίσωση
y=ax+1-a

και τέμνει τους άξονες στα σημεία F(0,1-a)

και $E(\frac{a-1}{a},0)$

Εφαρμόζοντας πυθαγόρειο στο τργ FAE

έχουμε $(1-a)^2+(\frac{a-1}{a})^2=4^2 \leftrightarrow .....\leftrightarrow a^4-2a^3-14a^2-2a+1=0$
η οποία είναι αντίστροφη 4ου βαθμου και δίνει λυσεις

$a=\frac{-\sqrt{17}+1 \pm\sqrt{14-2 \cdot \sqrt{17}}}{2}$

λαμβανομένου υπόψη ότι a<0

.
Συνεπώς τεταγμένη $y_F=1-a=1-\frac{-2 \cdot \sqrt{17}+1 \pm\sqrt{14-2 \cdot \sqrt{17}}}{2}$

$=\frac{\sqrt{17}+1 \pm\sqrt{14-2 \cdot \sqrt{17}}}{2}$

Προσθήκη
Μπήκε στη θέση του ένα χαμένο διπλό μπροστά απο την ρίζα του 17. Ευχαριστώ τον Θανάση (Karkar) για την παρατηρητικότητα του .

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #6

: skala.png (5.14 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Mία ακόμη λύση.
Έστω FD=x

, με $\ 0<x<3$
Τα τρίγωνα DFC ~~

και

είναι όμοια, άρα $: ~~\displaystyle \frac{FD}{CB}=\frac{DC}{BE}\Rightarrow \frac{x}{1}=\frac{1}{BE}\Rightarrow BE=\frac{1}{x}$
Στο ορθογώνιο τρίγωνο AEF

από Π.Θ. είναι
$AF^2+AE^2=FE^2\Rightarrow (x+1)^2+(1+\displaystyle \frac{1}{x})^2= 4^2$ , άρα

$x^2+2x+\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-14=0\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2(x+\frac{1}{x})-14=0$

Θέτω $\displaystyle x+\frac{1}{x} = y\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$ και η εξίσωση γίνεται
y^2+2y-16=0 ,~~

η οποία έχει ρίζες $y_{1,2}=-1\pm \sqrt{17}$
Για $y=-1+ \sqrt{17}$ είναι
$\displaystyle x+\frac{1}{x} = -1+ \sqrt{17}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{17}-1+\sqrt{14-2\sqrt{17}}}{2}\simeq 2.76 m$
ή
$\displaystyle x=\frac{\sqrt{17}-1-\sqrt{14-2\sqrt{17}}}{2}\simeq 0.36 m$

Ενώ για $y=-1- \sqrt{17}$ είναι
$\displaystyle x+\frac{1}{x} = -1- \sqrt{17}\Rightarrow x^2+(1+\sqrt{17})x+1=0 ,~~$ της οποίας οι ρίζες απορρίπτονται γιατί είναι αρνητικές.

#7

Να πληροφορήσω πως για λόγους δεοντολογίας η άσκηση αυτή δεν πρέπει να υπάρχει αυτήν τη δεδομένη στιγμή στο φόρουμ
μιάς και αποτελεί θέμα τρέχοντος διαγωνισμού του περιοδικού '''Περισκόπιο της επιστήμης''(Τεύχος 356,Νοέμβριος 2011,σελ.82).
Παρακαλώ τους συντονιστές να μεριμνήσουν.
Ευχαριστώ.
Χ.Κ

#8

Επαναφέρουμε το θέμα το οποίο είχε αποσυρθεί έως ότου να λήξει ο διαγωνισμός του περιοδικού που είχε δώσει την άσκηση.

Στήριξη ... σκάλας

Στήριξη ... σκάλας

Re: Στήριξη ... σκάλας

Re: Στήριξη ... σκάλας

Re: Στήριξη ... σκάλας

Re: Στήριξη ... σκάλας

Re: Στήριξη ... σκάλας

Re: Στήριξη ... σκάλας

Re: Στήριξη ... σκάλας

Μέλη σε σύνδεση