Εύρεση Συντελεστών Πολυωνύμου - 1 -

ΖΩΗ · #1

Αν $\displaystyle{(x_1, y_1 )}$ είναι η λύση του συστήματος: $\displaystyle{\begin {cases} y=2x \\ 2\text {log}y =\text {log}x+ \text {log}2 \end{cases}}$ και για το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x) = 2x^3 +a x^2 + b x+ 6}$ ξέρουμε ότι η αριθμητική τιμή του στο $\displaystyle{-2y_1}$ είναι $\displaystyle{-12}$ και ότι έχει παράγοντα το $\displaystyle{(x-x_1)}$ , να υπολογιστούν οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{a,b}$ .

#2

Το σύστημα ορίζεται για x,y>0

.

Τότε από την 2η εξίσωση βρίσκουμε ότι: $\displaystyle{logy^2=log(2x) \Leftrightarrow y^2=2x}$ ,

η οποία λόγω της 1ης εξίσωσης δίνει: $\displaystyle{y^2=y \Leftrightarrow y =1}$ , αφού y>0

.

Συνεπώς από την 1η εξίσωση προκύπτει: $\displaystyle{1=2x \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}}$ .

Επομένως έχουμε: $\displaystyle{x_1=\frac{1}{2},y_1=1$ .

Αφού το πολυώνυμο έχει παράγοντα τον x-x_1

, το

είναι ρίζα του πολυωνύμου και ισχύει
$\displaystyle{P(x_1)=0 \Leftrightarrow 2\cdot\frac{1}{8}+a\cdot\frac{1}{4}+b\frac{1}{2}+6=0 \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow a+2b=-25 (I)}$ .

Για το πολυώνυμο ισχύει επιπλέον ότι P(-2y_1)=-12

,οπότε
$\displaystyle{P(-2)=-12 \Leftrightarrow 2\cdot(-8)+a\cdot4+b\cdot (-2)+6=0 \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow 4a-2b=-2 (II)}$ .

Προσθέτοντας τις (Ι) και (ΙΙ) βρίσκουμε ότι: $\displaystyle{a=-\frac{27}{5}}$ και αντικαθιστώντας στην (Ι) βρίσκουμε $\displaystyle{b=-\frac{49}{5}}$ .

Εύρεση Συντελεστών Πολυωνύμου - 1 -

Εύρεση Συντελεστών Πολυωνύμου - 1 -

Re: Εύρεση Συντελεστών Πολυωνύμου - 1 -

Μέλη σε σύνδεση