Άλγεβρα για ένα ... γεωμετρικό θέμα

KARKAR · #1

Αν $\upsilon _{1}, \upsilon _{2} , \upsilon _{3}$ , είναι τα τρία ύψη ενός τριγώνου και $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του ,

δείξτε ότι : $\displaystyle\frac{\rho }{\upsilon _{1}+\upsilon _{2}+\upsilon _{3}}\leq \frac{1}{9}$ .....( Έχει και Γεωμετρία αλλά .... κυρίως Άλγεβρα )

Grigoris K. · #2

Καλησπέρα κ. Θανάση:

Ισχύει $\displaystyle{ (ABC) = \frac{a \cdot \upsilon_1}{2} \Rightarrow \upsilon_1 = \frac{2(ABC)}{a}}$ και κυκλικά.

Ἀρα η ανισότητα γράφεται $\displaystyle{ 2(ABC)\left( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}\right) \geq 9\rho }$

Όμως $\displaystyle{(ABC) = \tau \rho = \frac{a+b+c}{2}\rho}$

Συνεπώς η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{ (a+b+c)\left( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}\right) \geq 9\right)}$ , η οποία είναι άμεση συνέπεια της B.C.S.

Άλγεβρα για ένα ... γεωμετρικό θέμα

Άλγεβρα για ένα ... γεωμετρικό θέμα

Re: Άλγεβρα για ένα ... γεωμετρικό θέμα

Μέλη σε σύνδεση