Αριθμητική - Γεωμετρική Πρόοδος 3

Γιώργος Κ77 · #1

Να βρεθούν τέσσερις ακέραιοι αριθμοί αν γνωρίζουμε ότι οι τρεις πρώτοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι τρεις τελευταίοι διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, το άθροισμα του πρώτου και του τέταρτου είναι 37, ενώ το άθροισμα του δεύτερου και του τρίτου είναι 36.

Ιστοσελίδα · #2

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{ a,b,c,d }$ τους ζητούμενους ακέραιους αριθμούς, τότε από τα δεδομένα προκύπτουν οι σχέσεις:

$\displaystyle{ 2b = a + c }$
$\displaystyle{ c^2 = bd }$
$\displaystyle{ a + d = 37 }$
$\displaystyle{ b + c = 36 }$

από την δεύτερη ισότητα προκύπτει: $\displaystyle{d = \frac{{c^{2`} }}{b}}$
τότε από την τρίτη ισότητα προκύπτει: $\displaystyle{ a = 37 - \frac{{c^2 }}{b} }$
και από την πρώτη προκύπτει: $\displaystyle{ 2b = 37 - \frac{{c^2 }}{b} + c }$
τέλος από την προηγούμενη και την τελευταία αρχική σχέση έχουμε:

$\displaystyle{ 2(36 - c) = 37 - \frac{{c^2 }}{{36 - c}} + c }$

η τελευταία σχέση είναι με έναν άγνωστο όπου εκτελώντας τις σημειωμένες πράξεις προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση $\displaystyle{ 4c^2 - 143c + 1260 = 0 }$ με άγνωστο το $\displaystyle{c}$

Οι τιμές του $\displaystyle{ c }$ που επαληθεύουν την τελευταία εξίσωση είναι $\displaystyle{ 20 }$ και $\displaystyle{ 15,75 }$ που η τελευταία απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακεραία. Άρα $\displaystyle{ c = 20 }$ και από τις ενδιάμεσες σχέσεις εύκολα προκύπτουν $\displaystyle{ a = 12 }$ , $\displaystyle{ b = 16 }$ και $\displaystyle{ d = 25 }$

ΣΧΟΛΙΟ
Από τους αριθμούς $\displaystyle{ 12,16,20,25 }$ οι τρείς πρώτοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά $\displaystyle{ \omega = 4 }$ και οι τρεις τελευταίοι διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου με λόγο $\displaystyle{ \lambda = \frac{5}{4} }$

Αριθμητική - Γεωμετρική Πρόοδος 3

Αριθμητική - Γεωμετρική Πρόοδος 3

Re: Αριθμητική - Γεωμετρική Πρόοδος 3

Μέλη σε σύνδεση